Funkcje
1. Podstawowe pojęcia
Definicja: Funkcja \(f: X \to Y\) przyporządkowuje każdemu elementowi \(x \in X\) (dziedzina) dokładnie jeden element \(y \in Y\) (zbiór wartości), gdzie \(y = f(x)\).
| Pojęcie | Definicja | Zapis |
|---|---|---|
| Dziedzina | Zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości argumentu | \(D(f)\) |
| Zbiór wartości | Zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję | \(W(f)\) |
| Miejsce zerowe | Argument, dla którego \(f(x)=0\) | \(x_0\) takie, że \(f(x_0)=0\) |
| Funkcja rosnąca | \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\) | — |
| Funkcja malejąca | \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\) | — |
| Funkcja parzysta | \(f(-x) = f(x)\) — symetria względem osi \(OY\) | — |
| Funkcja nieparzysta | \(f(-x) = -f(x)\) — symetria względem \((0,0)\) | — |
| Funkcja okresowa | Istnieje \(T>0\): \(f(x+T)=f(x)\) | \(T\) — okres |
2. Przekształcenia wykresów
| Przekształcenie | Wzór | Opis |
|---|---|---|
| Przesunięcie w górę o \(b\) | \(y = f(x) + b\) | Każdy punkt przesuwa się o \(b\) jednostek w górę |
| Przesunięcie w prawo o \(a\) | \(y = f(x - a)\) | Każdy punkt przesuwa się o \(a\) jednostek w prawo |
| Odbicie względem osi \(OX\) | \(y = -f(x)\) | Zmiana znaku wartości funkcji |
| Odbicie względem osi \(OY\) | \(y = f(-x)\) | Zmiana znaku argumentu |
| Rozciągnięcie pionowe o \(k>1\) | \(y = k \cdot f(x)\) | Amplituda rośnie |
| Ściśnięcie poziome o \(k>1\) | \(y = f(kx)\) | Okres maleje |
| \(y=|f(x)|\) | Część poniżej osi OX odbija się w górę | Wykres pozostaje nad osią OX |
| \(y=f(|x|)\) | Część dla \(x<0\) zastępuje się lustrzanym odbiciem części \(x>0\) | Wykres symetryczny względem osi OY |
3. Asymptoty
Pionowa \(x=a\): \(\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty\)
Pozioma \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\)
Ukośna \(y=kx+m\): \(k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\),\quad \(m=\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx]\)
Pozioma \(y=b\): \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b\)
Ukośna \(y=kx+m\): \(k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}\),\quad \(m=\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx]\)
Przykład: \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\)
Asymptota pionowa: \(x=1\) (mianownik = 0)
Asymptota ukośna: \(k=1\), \(m=1\), więc \(y=x+1\)
Asymptota pionowa: \(x=1\) (mianownik = 0)
Asymptota ukośna: \(k=1\), \(m=1\), więc \(y=x+1\)
4. Funkcja odwrotna
Jeśli \(f\) jest różnowartościowa, to istnieje \(f^{-1}\) taka, że:
\(f^{-1}(f(x))=x\) oraz \(f(f^{-1}(y))=y\)
Wyznaczanie: zamieniamy miejscami \(x\) i \(y\), następnie wyrażamy \(y\).
\(f^{-1}(f(x))=x\) oraz \(f(f^{-1}(y))=y\)
Wyznaczanie: zamieniamy miejscami \(x\) i \(y\), następnie wyrażamy \(y\).
Wykres \(f^{-1}\) jest symetryczny do wykresu \(f\) względem prostej \(y=x\).
Dziedzina \(f^{-1}\) = zbiór wartości \(f\)\quad i\quad zbiór wartości \(f^{-1}\) = dziedzina \(f\).
Dziedzina \(f^{-1}\) = zbiór wartości \(f\)\quad i\quad zbiór wartości \(f^{-1}\) = dziedzina \(f\).
Przykład: \(f(x)=2x-3\). Wyznacz \(f^{-1}\).
\(y=2x-3 \Rightarrow x=\dfrac{y+3}{2} \Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\)
\(y=2x-3 \Rightarrow x=\dfrac{y+3}{2} \Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\)
5. Funkcja liniowa
\[ y = ax + b, \quad a,b \in \mathbb{R} \]
| Własność | Wartość |
|---|---|
| Dziedzina | \(\mathbb{R}\) |
| Zbiór wartości | \(\mathbb{R}\) (gdy \(a\ne0\)); \(\{b\}\) (gdy \(a=0\)) |
| Monotoniczność | Rosnąca gdy \(a>0\); malejąca gdy \(a<0\) |
| Miejsce zerowe | \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\) (gdy \(a\ne0\)) |
| Przecięcie z \(OY\) | \((0,\, b)\) |
Przykład: Wyznacz miejsce zerowe funkcji \(f(x) = 3x - 9\).
Rozwiązanie: \(3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3\)
Rozwiązanie: \(3x - 9 = 0 \Rightarrow x = 3\)
6. Funkcja kwadratowa
\[ y = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 \]
Postać kanoniczna: \(\;y = a(x - p)^2 + q\)
Wierzchołek: \(\displaystyle p = -\frac{b}{2a},\quad q = -\frac{\Delta}{4a},\quad \Delta = b^2 - 4ac\)
Wierzchołek: \(\displaystyle p = -\frac{b}{2a},\quad q = -\frac{\Delta}{4a},\quad \Delta = b^2 - 4ac\)
| Własność | Wartość |
|---|---|
| Oś symetrii | \(x = -\dfrac{b}{2a}\) |
| Wierzchołek | \(W = (p,\, q)\) |
| Ramiona | Góra gdy \(a>0\); dół gdy \(a<0\) |
| \(\Delta>0\) | \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta=0\) | \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | Brak pierwiastków rzeczywistych |
Przykład: Rozwiąż \(x^2 - 5x + 6 = 0\).
\(\Delta = 25-24=1\), \(\;x_1=2,\; x_2=3\)
\(\Delta = 25-24=1\), \(\;x_1=2,\; x_2=3\)
7. Funkcja homograficzna (wymierna liniowa)
\[ y = \frac{ax+b}{cx+d},\quad c\ne0 \]
Asymptota pionowa: \(x=-\dfrac{d}{c}\)\qquad Asymptota pozioma: \(y=\dfrac{a}{c}\)
Przykład: \(y=\dfrac{1}{x}\) — asymptoty \(x=0\) i \(y=0\); hiperbola
8. Funkcja wykładnicza
\[ y = a^x, \quad a > 0,\; a \ne 1 \]
| Własność | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| Dziedzina | \(\mathbb{R}\) | |
| Zbiór wartości | \((0,+\infty)\) | |
| Monotoniczność | Rosnąca | Malejąca |
| Punkt stały | \((0,1)\) | |
| Asymptota | \(y=0\) | |
9. Funkcja logarytmiczna
\[ y = \log_a x, \quad a > 0,\; a \ne 1,\; x > 0 \]
\(\log_a x = y \iff a^y = x\) — odwrotność funkcji wykładniczej \(y=a^x\)
\(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)\quad
\(\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)\quad
\(\log_a x^n = n\log_a x\)\quad
\(\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\)
\(\log_{10} x = \lg x\) — logarytm dziesiętny;\quad \(\log_e x = \ln x\) — logarytm naturalny (\(e\approx2{,}718\))
10. Funkcje trygonometryczne
| Funkcja | Dziedzina | Zbiór wartości | Okres | Parzystość |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1,1]\) | \(2\pi\) | Nieparzysta |
| \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1,1]\) | \(2\pi\) | Parzysta |
| \(\tan x\) | \(\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\pi\) | Nieparzysta |
| \(\cot x\) | \(\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\pi\) | Nieparzysta |
Tożsamości:\quad
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)\quad
\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\)\quad
\(1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\)
Wzory sumy kątów:
\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
\(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)\quad \(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
\(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)\quad \(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)
Wartości specjalne
| \(\alpha\) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\cos\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\tan\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | — | \(0\) |