Rozdział 1. Wielomiany i funkcje

Po przekształceniu otrzymujemy $$f(x) = 3x^2 - (2a+2b+2c)x + ab+bc+ca$$ Wyznaczamy wyróżnik $$\Delta = 4(a+b+c)^2 - 12(ab+bc+ca)$$ $$= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 8ab + 8bc + 8ca - 12ab - 12bc - 12ca$$ $$= 2(a^2 - 2ab + b^2) + 2(b^2 - 2bc + c^2) + 2(c^2 - 2ca + a^2)$$ $$= 2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 + 2(c-a)^2$$ Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność $x^2 \geq 0$, stąd $\Delta \geq 0$, czyli funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

$x^2 - 3nx + 2n^2 < 0 \Leftrightarrow (x-n)(x-2n) < 0 \Leftrightarrow x \in (n, 2n)$ Największą liczbą całkowitą należącą do przedziału $(n, 2n)$ jest liczba $2n-1$. Odp. Wzór funkcji $f(n) = 2n-1$, gdzie $n > 1$.

Ze wzorów Viete'a otrzymujemy $$\begin{cases} p^2+q^2 = 10 \ p+q = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^2 + (2-p)^2 = 10 \ q = 2-p \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^2 + 4 - 4p + p^2 = 10 \ q = 2-p \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2p^2 - 4p - 6 = 0 \ q = 2-p \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^2 - 2p - 3 = 0 \ q = 2-p \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p = -1 \ q = 3 \end{cases} \text{ lub } \begin{cases} p = 3 \ q = -1 \end{cases}$$ Odp. $(p, q) = (-1, 3)$, $(p, q) = (3, -1)$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \Delta > 0 \ x_1^2 + x_2^2 > 2m^2 - 13 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego, natomiast $x_1, x_2$ są pierwiastkami tego równania. Zatem $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 - 4$

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1 + x_2 < 2m^2 - 3 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego, natomiast $x_1, x_2$ są pierwiastkami tego równania. Zatem $$\Delta = (m-4)^2 - 4(m^2-4m) = -3m^2 + 8m + 16, \quad x_1 + x_2 = m - 4$$ $$\begin{cases} -3m^2 + 8m + 16 > 0
m - 4 < 2m^2 - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (3m+4)(m-4) < 0
(m+1)(2m^2-2m+1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \in \left(-\tfrac{4}{3}, 4\right)
m \in (-1, +\infty) \end{cases}$$ Odp. $m \in (-1, 4)$.

$$f(x) = x^2 - 4|x| = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{dla } x \geq 0
x^2 + 4x, & \text{dla } x < 0 \end{cases}$$ Wierzchołki parabol: $y = x^2 - 4x$, $W = (2, -4)$; $y = x^2 + 4x$, $W = (-2, -4)$. Odp. Nie ma rozwiązań dla $m \in (-\infty, -4)$. Dwa rozwiązania dla $m \in (0, +\infty) \cup \{-4\}$. Trzy rozwiązania dla $m = 0$. Cztery rozwiązania dla $m \in (-4, 0)$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \Delta > 0
(x_1 - x_2)^2 < 8m \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej. Zatem $$\Delta = 4m^2(m-2) - 4(m-2)(m+1) = 4(m-2)(m^2-m-1)$$ $$(x_1-x_2)^2 = \frac{\Delta}{a^2} = 4m^3 - 8m^2 - 4m + 8 = 4(m-2)(m-1)(m+1)$$ $$\begin{cases} 4(m-2)(m-1)(m+1) > 0
4(m-2)(m-1)(m+1) < 8m \end{cases}$$ Odp. $m \in (0, 1) \cup (2, 3)$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 x_2 \leq 25 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $$\Delta = (m-2)^2 + 24m = m^2 + 20m + 4$$ $$x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 x_2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2 - 25 = \left(\frac{m-2}{2}\right)^2 - \frac{12m}{4} - 25 = \frac{m^2 + 20m - 96}{4}$$ $$\begin{cases} m^2 + 20m + 4 > 0
m^2 + 20m - 96 \leq 0 \end{cases}$$ $\Delta_1 = 384$, $m_{1,2} = -10 \pm 4\sqrt{6}$. $\Delta_2 = 784 = 28^2$, $m_3 = \dfrac{-20-28}{2} = -24$, $m_4 = \dfrac{-20+28}{2} = 4$. $$\begin{cases} m \in (-\infty, -10-4\sqrt{6}) \cup (-10+4\sqrt{6}, +\infty)
m \in [-24, 4] \end{cases}$$ Odp. $m \in \left(-24,\, -10-4\sqrt{6}\right) \cup \left(-10+4\sqrt{6},\, 4\right)$.

Niech $n$ oznacza najmniejszą z czterech kolejnych liczb. Wtedy $$n + 3 = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$$ $$3n^2 + 5n + 2 = 0$$ $$\Delta = 25 - 24 = 1, \quad n_1 = \frac{-5-1}{6} = -1, \quad n_2 = \frac{-5+1}{6} = -\frac{2}{3}$$ Ponieważ $n$ musi być liczbą całkowitą, $n = -1$. Odp. $-1,\ 0,\ 1,\ 2$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności i równania $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1^4 + x_2^4 = 4m^6 + 6m^4 + 32m^2 + 12 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $$\Delta = (m+2)^2 - 4(m+4) = m^2 - 12$$ $$x_1^4 + x_2^4 = \left((x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2\right)^2 - 2(x_1 x_2)^2 = \left((m+2)^2 - 2(m+4)\right)^2 - 2(m+4)^2$$ $$= (m^2 + 2m - 4)^2 - 2(m+4)^2 = m^4 + 4m^3 - 6m^2 - 32m - 16$$ $$\begin{cases} m^2 - 12 > 0
m^4 + 4m^3 - 6m^2 - 32m - 16 = \text{dana wartość} \end{cases}$$ $$m^4 - 12m^2 - 28 = 0 \Rightarrow m^2 = 14$$ Odp. $m = -\sqrt{14}$ lub $m = \sqrt{14}$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności i równania $$\begin{cases} \Delta > 0
|x_1 - x_2| = 3 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $$|x_1 - x_2| = \left|\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{\Delta} = 3 \Rightarrow \Delta = 36$$ $$\Delta = (3-2m)^2 - 8(-m+1) = 4m^2 - 4m + 1 = (2m-1)^2$$ $$(2m-1)^2 = 36 \Leftrightarrow 2m - 1 = \pm 6$$ $$m_1 = \frac{7}{2} \quad \text{lub} \quad m_2 = -\frac{5}{2}$$ Odp. $m = \dfrac{7}{2}$ lub $m = -\dfrac{5}{2}$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1 x_2 \leq 6m \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $$\Delta = 4(1-m)^2 - 4(m^2-m) = 4 - 8m + 4m^2 - 4m^2 + 4m = 4(1-m)$$ $$x_1 x_2 = m^2 - m, \quad x_1 + x_2 = m - 1$$ $$\begin{cases} 4(1-m) > 0
m^2 - m \leq 6m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 1
m(m-7) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 1
m \in [0, 7] \end{cases}$$ Odp. $m \in [0, 1)$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} m + 1 \neq 0
\Delta > 0
x_1 + x_2 \leq 2{,}5 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego, natomiast $x_1, x_2$ są jego pierwiastkami. Zatem $$\Delta = 9m^2 - 4(m+1)(3m+2) = (m-2)(5m+2)$$ $$x_1 + x_2 = \frac{3m}{2(m+1)}, \quad \frac{3m}{2(m+1)} \leq \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{6m - 5(2m+1) - 5}{2(m+1)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{m-5}{2(m+1)} \leq 0$$ $$\begin{cases} m \neq -1
(m-2)(5m+2) > 0
m \in (-\infty, -1) \cup (-1, 5] \end{cases}$$ Odp. $m \in \left(-1, -\tfrac{2}{5}\right) \cup (2, 5]$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności i równania $$\begin{cases} \Delta > 0
d_A^2 + d_B^2 = 6 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego, natomiast $d_A, d_B$ oznaczają odległości punktów $A, B$ od prostej z zadania. Zatem $$\Delta = (2m+2)^2 - 4(2m+5) = 4m^2 + 8m + 4 - 8m - 20 = 4m^2 - 16$$ $$d_A^2 + d_B^2 = \left|\frac{x_1+1}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{x_2+1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{x_1^2+2x_1+1 + x_2^2+2x_2+1}{2}$$ $$= \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 + 2(x_1+x_2) + 2}{2} = \frac{(2m+2)^2 - 2(2m+5) \cdot \frac{1}{1} \cdot 2 + 2(2m+2)}{2} \cdot \frac{1}{2}$$ $$= \frac{(2m+2)^2}{4} - \frac{(2m+5)}{1} \cdot \frac{1}{2} + (2m+2) \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = m^2 + 2m + 1 - m - \frac{5}{2} + m + 1 = m^2 + 2m - \frac{1}{2}$$ $$4m^2 - 16 > 0 \Rightarrow m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$$ $$m^2 + 2m - \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow 2m^2 + 4m - 7 = 0 \Rightarrow m = \frac{-4 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{-2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$$ Odp. $m = \dfrac{-2 + 3\sqrt{2}}{2}$ (spełnia $m > 2$).

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \Delta > 0
(x_1+x_2)^2 \geq (x_1 \cdot x_2)^2
(x_1 \cdot x_2)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $$\Delta = (2m-5)^2 - 4(2m+3) = 4m^2 - 28m + 13 > 0 \Leftrightarrow m \in \left(-\infty, \tfrac{1}{2}\right) \cup \left(\tfrac{13}{2}, +\infty\right)$$ $$\Delta_1 = 28^2 - 16 \cdot 13 = 756 = 4 \cdot 189 = 4 \cdot 9 \cdot 21, \quad m_1 = \frac{1}{2}, \quad m_2 = \frac{13}{2}$$ $$(x_1+x_2)^2 \geq (x_1 x_2)^2 \Leftrightarrow (-2m+5-2m+3)(-2m+5+2m-3) \geq 0 \Leftrightarrow (-4m+8)(2) \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$$ $$(x_1 x_2)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \Leftrightarrow (2m-5)^2 - 2(2m+3) - (2m+3)^2 \geq 0 \Leftrightarrow -36m+10 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \tfrac{5}{18}$$ Odp. $m \in \left(\tfrac{5}{18}, \tfrac{1}{2}\right)$.

Funkcję można zapisać w postaci $f(x) = a(x+1)(x-3)$, gdzie $a \neq 0$. Wtedy $$\frac{f(6)}{f(12)} = \frac{a \cdot 7 \cdot 3}{a \cdot 13 \cdot 9} = \frac{7}{39}$$ Odp. $\dfrac{f(6)}{f(12)} = \dfrac{7}{39}$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności i równania $$\begin{cases} m \neq -1
\Delta > 0
x_1^4 - x_2^4 - (x_1^2 - x_2^2) = 0 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej. Zatem $$\Delta = 4(m-2)^2 - 4(m+1)(-m+4) = 8m(2m-7)$$ $$x_1^4 - x_2^4 - (x_1^2 - x_2^2) = (x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2-1)$$ $$= (x_1-x_2)(x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - 1\right)$$ Pierwiastki są różne, więc $x_1 \neq x_2$. Stąd $$\begin{cases} m \neq -1
4m(2m-7) > 0
x_1 + x_2 = 0 \quad \text{lub} \quad (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - 1 = 0 \end{cases}$$ Dalej $x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow m = 2$. $(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - 1 = 0 \Rightarrow 5m^2 - 24m + 7 = 0 \Rightarrow m = \dfrac{12 \pm \sqrt{109}}{5}$. Odp. $m = \dfrac{12 + \sqrt{109}}{5}$.

Zatem $$\Delta = 1 - 4(m^2 - m) = -4m^2 + 4m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \in \left(\frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)$$ $$\Delta_1 = 32 \cdot 16 \cdot 2$$ $$m_1 = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{-8} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \quad m_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{1}{x_1 + x_2} \leq \frac{m}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{m^2 - m} \leq \frac{m}{3} \Leftrightarrow m^3 - m^2 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \in \left\langle 0, \frac{4}{3} \right\rangle$$ $$\frac{m}{3} \leq \frac{1}{x_1 x_2} \Leftrightarrow \frac{m}{3} \leq \frac{1}{m^2 - m} \Leftrightarrow m^3 - m^2 - m \leq 0 \Leftrightarrow m \in \left\langle 0, \frac{4}{3} \right\rangle$$ Stąd $$\begin{cases} m \neq 0 \text{ i } m \neq 1
m \in \left(\frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)
m \in \left\langle 0, \frac{4}{3} \right\rangle
m \leq 3 \end{cases}$$ Odp. $m \in (0, 1) \cup \left(1, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \frac{m^2 + m - 6}{m - 5} < 0
m \neq 5
\Delta > 0
x_1 x_2 > 0 \end{cases}$$ wliczbach całkowitych, gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej natomiast $x_1, x_2$ miejscami zerowymi tej funkcji. Zatem $$\frac{m^2 + m - 6}{m - 5} < 0 \Leftrightarrow \frac{(m - 2)(m + 3)}{m - 5} < 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5)$$ $$\Delta = 4(m - 2)^2 - 4(m^2 - m - 6) = -20m + 40 > 0 \Leftrightarrow m < 2$$ $$x_1 x_2 > 0 \Leftrightarrow \frac{m^2 + m - 6}{m - 5} > 0 \Leftrightarrow \frac{(m - 2)(m + 3)}{m - 5} > 0 \Leftrightarrow (m - 5)^2 (m + 3)(m - 2) > 0 \Leftrightarrow$$ $$m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5) \cup (5, +\infty)$$ $$\begin{cases} m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5)
m < 2
m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5) \cup (5, +\infty) \end{cases}$$ Odp. $m \in \{-4, -5, -6, ...\}$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności i równania $$\begin{cases} \Delta > 0
(x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2) - (x_1^3 + x_2^3) = 0 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $$\Delta = 4(m - 1)^2 - 4(m^2 - m - 1) = -12m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}$$ $$(x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2) - (x_1^3 + x_2^3) = 0 \Leftrightarrow x_1^3 + x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 + x_2^3 - x_1^3 - x_2^3 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 0 \Leftrightarrow (m^2 - m - 1)(-2(m - 1)) = 0 \Leftrightarrow m^2 - m - 1 = 0 \text{ lub } m = 1$$ Stąd $$\begin{cases} m < \frac{2}{3}
m^2 - m - 1 = 0 \text{ lub } m = 1 \end{cases}$$ $$m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \text{ lub } m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \text{ lub } m = 1$$ Odp. $m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \text{ lub } m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1 x_2 > 0
|x_1 - x_2| < 3 \end{cases}$$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej. Ponieważ $|x_1 - x_2| = \left|\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \left|\frac{2\sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \left|\frac{\sqrt{\Delta}}{a}\right| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$ szy układ nierówności jest równoważny z następującym układem: $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1 x_2 > 0
\Delta - 9 < 0 \end{cases}$$ Zatem $$\Delta = 4(m + 1)^2 - 4(6m + 1) = 4m^2 - 16m = 4m(m - 4) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$$ $$x_1 x_2 = 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > -\frac{1}{6}$$ $$\Delta - 9 = 4m^2 - 16m - 9 < 0 \Leftrightarrow m \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{2}\right)$$ $$\Delta_1 = 16^2 + 16 \cdot 9 = 400, \quad m_1 = \frac{16 + 20}{8} = \frac{9}{2}, \quad m_2 = \frac{16 - 20}{8} = -\frac{1}{2}$$

Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{cases} k \neq 0
\Delta > 0 \end{cases}$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $\Delta = (k-1)^2 - 4k^2 = -3k^2 - 2k + 1$, $\begin{cases} k \neq 0
-3k^2 - 2k + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow k \in (-1, 0) \cup \left(0, \frac{1}{3}\right)$. Dalej $m = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-k+1}{1} = -k+1$, $f(k) = 2^{-k+1} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k$. Funkcja malejąca. $f(-1) = 4$, $f(0) = 2$, $f\left(\frac{1}{3}\right) = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}$. [WYKRES] Odp. $\left(\sqrt[3]{4}, 2\right) \cup (2, 4).$

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $\begin{cases} m \neq 3
\Delta > 0
x_1^3 + x_2^3 > -9 \end{cases}$, gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Zatem $\Delta = 9 - 4 \frac{2-m}{3-m} = \frac{27 - 9m - 8 + 4m}{3-m} = \frac{-5m + 19}{3-m} > 0 \Leftrightarrow (3-m)(-5m+19) > 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow m \in \left(-\infty, 3\right) \cup \left(\frac{19}{5}, +\infty\right)$. $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2) =$

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $\begin{cases} \Delta > 0
(4x_1 - 4x_2 - 1)(4x_1 - 4x_2 + 1) < 0 \end{cases}$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. Ponieważ $\Delta = 36m^2 - 16(2m+3)(m-3) = 4(9m^2 - (8m^2 - 24m - 12m + 36)) = 4(m+6)^2$, więc $x_1 = \frac{6m - 2|m+6|}{8}$, $x_2 = \frac{6m + 2|m+6|}{8}$. Stąd $4x_1 - 4x_2 = 3m - |m+6| - (3m + |m+6|) = -2|m+6|$. $(4x_1 - 4x_2 - 1)(4x_1 - 4x_2 + 1) = (-2|m+6| - 1)(-2|m+6| + 1) =$ $= 4|m+6|^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow |m+6|^2 < \frac{1}{4} \Leftrightarrow |m+6| < \frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < m+6 < \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow -\frac{13}{2} < m < -\frac{11}{2}$. $\begin{cases} m \neq -6
m \in \left(-\frac{13}{2}, -\frac{11}{2}\right) \end{cases}$. Odp. $m \in \left(-\frac{13}{2}, -6\right) \cup \left(-6, -\frac{11}{2}\right)$.

f(3)=9-9m+2m^2+1=2m^2-9m+10=(2m-5)(m-2) $$ \begin{cases} m^2-4>0
\frac{3m}{2}<3
(2m-5)(m-2)>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)
m<2
m \in (-\infty, 2) \cup (\frac{5}{2}, +\infty) \end{cases} $$ Odp. $m \in (-\infty, -2)$. II sposób Równanie ma dwa rozwiązania mniejsze od 3 wtedy, gdy: $$ \begin{cases} \Delta > 0
x_1 < 3
x_2 < 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0
x_1-3 < 0
x_2-3 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta > 0
(x_1-3)(x_2-3)>0
x_1-3+x_2-3 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m^2-4>0
2m^2-9m+10>0
3m-6<0 \end{cases} $$ $(x_1-3)(x_2-3)=x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=2m^2-9m+10$. $x_1+x_2-6=3m-6$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $$ \begin{cases} \Delta > 0
x_1^3+x_2^3 > -7x_1x_2 \end{cases} $$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. $\Delta = (m+1)^2 - 4(-m^2+1) = m^2+2m+1+4m^2-4 = 5m^2+2m-3 = (5m-3)(m+1)$. $x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$ $x_1^3+x_2^3 = -m((m+1)^2-3(-m^2+1)) = -m(m^2+2m+1+3m^2-3) = -m(4m^2+2m-2)$ $-7x_1x_2 = -7(-m^2+1) = 7(m^2-1) = 7(m-1)(m+1)$ $x_1^3+x_2^3 > -7x_1x_2 \Leftrightarrow -m(4m^2+2m-2) > 7(m^2-1) \Leftrightarrow -(m+1)(4m^2+9m-9)>0$ $\Leftrightarrow -(m+1)(m+3)(4m-3) > 0$. $$ \begin{cases} (5m-3)(m+1)>0
-(m+1)(m+3)(4m-3)>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \in (-\infty, -1) \cup (\frac{3}{5}, +\infty)
m \in (-\infty, -3) \cup (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}) \end{cases} $$ Odp. $m \in (-\infty, -3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})$.

Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności. $$ \begin{cases} \Delta > 0
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > 0
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \leq \frac{2}{3} \end{cases} $$ , gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego. $\Delta = 9m^2 - 4(m+1)(2m-1) = 9m^2 - 4(2m^2+m-1) = 9m^2-8m^2-4m+4 = m^2-4m+4 = (m-2)^2$. $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{3m}{(m+1)(2m-1)}$. $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \leq \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{3m}{(m+1)(2m-1)} \leq \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{3m}{(m+1)(2m-1)} - \frac{2}{3} \leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{9m - 2(m+1)(2m-1)}{3(m+1)(2m-1)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{9m - 2(2m^2+m-1)}{3(m+1)(2m-1)} \leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{9m - 4m^2-2m+2}{3(m+1)(2m-1)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{-4m^2+7m+2}{3(m+1)(2m-1)} \leq 0$. $$ \begin{cases} (m-2)^2 > 0
\frac{3m}{(m+1)(2m-1)} > 0
\frac{-4m^2+7m+2}{3(m+1)(2m-1)} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 2 \text{ i } m \neq -1 \text{ i } m \neq \frac{1}{2}
3m(m+1)(2m-1) > 0
3(m+1)(2m-1)(-4m^2+7m+2) \leq 0 \end{cases} $$ $\Delta = 49+32=81, m_1 = \frac{-7-9}{-8}=2, m_2 = \frac{-7+9}{-8}=-\frac{1}{4}$. [WYKRES] [WYKRES] $$ \begin{cases} m \neq 2 \text{ i } m \neq -1 \text{ i } m \neq \frac{1}{2}
m \in (-1, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)
m \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \cup (2, +\infty) \end{cases} $$ Odp. $m \in (-\frac{1}{4}, 0) \cup (2, +\infty)$.

m \neq -\frac{1}{2} $$\Delta = (m+2)^2 - 4(2m+1)(m-3) = m^2+4m+4 - 8m^2 + 20m + 12 = -7m^2 + 24m + 16.$$ $$(x_1-x_2)^2 + 5x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 + 5x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 + x_1x_2 = \left(\frac{m+2}{2m+1}\right)^2 + \frac{m-3}{2m+1} =$$ $$= \frac{(m+2)^2 + (m-3)(2m+1)}{(2m+1)^2} = \frac{m^2+4m+4+2m^2-5m-3}{(2m+1)^2} = \frac{3m^2-m+1}{(2m+1)^2}.$$ $$(x_1-x_2)^2 + 5x_1x_2 \geq 1 \Leftrightarrow \frac{3m^2-m+1}{(2m+1)^2} \geq 1 \Leftrightarrow 3m^2-m+1 \geq (2m+1)^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 3m^2-m+1 \geq 4m^2+4m+1 \Leftrightarrow -m^2-5m \geq 0 \Leftrightarrow m^2+5m \leq 0.$$ $$\begin{cases} m \neq -\frac{1}{2}
-7m^2+24m+16 > 0 \Leftrightarrow (m-4)(-7m-4) > 0 \Leftrightarrow m \in \left(-\frac{4}{7}, 4\right)
m^2+5m \leq 0 \Leftrightarrow m(m+5) \leq 0 \Leftrightarrow m \in \langle -5, 0 \rangle \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow m \in \left(-\frac{4}{7}, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, 0\right\rangle.$$ Odp. $m \in \left(-\frac{4}{7}, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, 0\right).$

$$\Delta = (2-4m)^2 - 16(m^2-m-2) = 4 - 16m + 16m^2 - 16m^2 + 16m + 32 = 36.$$ Zatem równania ma dwa różne rozwiązania dla $m \in \mathbb{R}$. $$x_1 = \frac{4m-2-6}{8} = \frac{m-2}{2}, x_2 = \frac{4m-2+6}{8} = \frac{m+1}{2}.$$ Dodatnie są wtedy, gdy $m-2 > 0$ i $m+1 > 0$, czyli dla $m > 2$. $$x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{m-2}{2}\right)^2 + \left(\frac{m+1}{2}\right)^2 = \frac{m^2-4m+4+m^2+2m+1}{4} = \frac{2m^2-2m+5}{4}.$$ $$x_1^2 + x_2^2 \leq \frac{17}{4} \Leftrightarrow 2m^2-2m+5 \leq 17 \Leftrightarrow 2m^2-2m-12 \leq 0 \Leftrightarrow m^2-m-6 \leq 0 \Leftrightarrow (m-3)(m+2) \leq 0 \Leftrightarrow m \in \langle -2, 3 \rangle.$$ Odp. $m \in (2, 3\rangle.$

Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta > 0$. $$\Delta = (3m+2)^2 - 4(2m^2+7m-15) = 9m^2+12m+4 - 8m^2 - 28m + 60 =$$ $$= m^2 - 16m + 64 = (m-8)^2 > 0 \Leftrightarrow m \neq 8.$$ $2x_1^2 + 5x_1x_2 + 2x_2^2 = 2 \Leftrightarrow 2(x_1+x_2)^2 + x_1x_2 = 2 \Leftrightarrow$ $2(3m+2)^2 + (2m^2+7m-15) = 2 \Leftrightarrow 20m^2+31m-9 = 0 \Leftrightarrow$ $(5m+9)(4m-1)=0 \Leftrightarrow m = -\frac{9}{5} \text{ lub } m = \frac{1}{4}.$ Odp. $m \in \left\{-\frac{9}{5}, \frac{1}{4}\right\}.$

Poniższe nierówności są równoważne $(m^2+4m-5) \cdot x^2 + 2x > 2mx - 2$ $(m^2+4m-5)x^2 - 2(m-1)x + 2 > 0$ Dla $m=1$ otrzymujemy nierówność $2 > 0$, która jest oczywiście prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Dla $m=-5$ otrzymujemy nierówność $12x+2 > 0$, która nie jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Gdy $m \neq -5$ i $m \neq 1$ mamy nierówność kwadratową, która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $$\begin{cases} a > 0
\Delta < 0 \end{cases}$$ $$\Delta = 4(m-1)^2 - 8(m+5)(m-1) = 4(m-1)(m-1-2(m+5)) = 4(m-1)(-m-11).$$ $$\begin{cases} (m+5)(m-1) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)
4(m-1)(-m-11) < 0 \Leftrightarrow (m-1)(m+11) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -11) \cup (1, +\infty) \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow m \in (-\infty, -11) \cup (1, +\infty).$$ Odp. $m \in (-\infty, -11) \cup (1, +\infty).$

Równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1+x_2 > 0
x_1x_2 > 0 \end{cases}$$ $$\Delta = (2a)^2 - 4(a^3-2a) = 4a^2 - 4a^3 + 8a = 4a(-a^2+a+2).$$ $x_1+x_2 = 2a$ $x_1x_2 = a^3-2a = a(a^2-2).$ $$\begin{cases} \Delta > 0
x_1+x_2 > 0
x_1x_2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4a(-a^2+a+2) > 0
2a > 0
a(a^2-2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -a^2+a+2 > 0
a > 0
a^2-2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2-a-2 < 0
a > 0
a^2 > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-2)(a+1) < 0 \Leftrightarrow a \in (-1, 2)
a > 0
a > \sqrt{2} \text{ lub } a < -\sqrt{2} \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow a \in (\sqrt{2}, 2).$$ Odp. $a \in (\sqrt{2}, 2).$

Trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta > 0$. $$\Delta = 4(m+1)^2 - 16m = 4(m-1)^2.$$ Zatem trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki dla $m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Zero jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego dla $m=0$. Stąd $m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}.$

$|x_2 - x_1| = \left|\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 1 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = |a|$ $$\Delta = (p-1)^2 - 4p(1-2p) = p^2 - 2p + 1 - 4p + 8p^2 = 9p^2 - 6p + 1 = (3p-1)^2$$ Funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 wtedy, gdy $$\begin{cases} p \neq 0
p \neq \frac{1}{3}
|3p-1| = |p| \end{cases}$$ $(3p-1)^2 = p^2 \Leftrightarrow (3p-1-p)(3p-1+p) = 0 \Leftrightarrow (2p-1)(4p-1) = 0$ Odp. $p \in \left\{\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{2}\right\}$.

Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy, gdy $\Delta > 0$. $$\Delta = (m-4)^2 - 4(m^2-7m+12) = -3m^2 + 20m - 32$$ $$\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left(\frac{8}{3}, 4\right)$$ Następujące nierówności są równoważne: $$x_1^3 + x_2^3 < 5x_1^2 x_2 + 5x_1 x_2^2$$ $$(x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2 - 3x_1 x_2\right) < 5x_1 x_2(x_1+x_2)$$ $$(x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2 - 8x_1 x_2\right) < 0$$ $$(m-4)\left((m-4)^2 - 8(m^2-7m+12)\right) < 0$$ $$(m-4)(-7m^2+48m-80) < 0$$ $$(m-4)(-7m+20)(m-4) < 0$$ $$\begin{cases} m > \frac{20}{7}
m \neq 4 \end{cases}$$ Odp. $m \in \left(\dfrac{20}{7},\ 4\right)$.

Równanie ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta > 0$. $$\Delta = 16 + 4 \cdot \frac{m-3}{m-2} = \frac{20m-44}{m-2}$$ $$\Delta > 0 \Leftrightarrow (20m-44)(m-2) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty,\,2) \cup \left(\frac{11}{5},+\infty\right)$$ Wyznaczamy $x_1^3 + x_2^3$: $$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2 - 3x_1 x_2\right) = -4\!\left(16 + 3\cdot\frac{m-3}{m-2}\right)$$ Następujące nierówności są równoważne: $$x_1^3+x_2^3 > -28 \Leftrightarrow 3+\frac{m-3}{m-2} < 0 \Leftrightarrow \frac{4m-9}{m-2} < 0 \Leftrightarrow m \in \left(2,\,\frac{9}{4}\right)$$ Odp. $m \in \left(\dfrac{11}{5},\ \dfrac{9}{4}\right)$.

Równanie ma dwa różne pierwiastki różne od zera wtedy i tylko wtedy, gdy $$\begin{cases} m \neq 0
\Delta > 0
-2m+3 \neq 0 \end{cases}$$ $$\Delta = (m+1)^2 - 4m(-2m+3) = 9m^2 - 10m + 1 = (9m-1)(m-1)$$ $$\Delta > 0 \Leftrightarrow m \in \left(-\infty,\,\frac{1}{9}\right) \cup (1,+\infty)$$ Uwzględniając warunek $m \neq 0$ oraz $m \neq \dfrac{3}{2}$ otrzymujemy $$m \in (-\infty,0) \cup \left(0,\frac{1}{9}\right) \cup \left(1,\frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2},+\infty\right)$$ Wyznaczamy $\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}$: $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{5m^2-4m+1}{(2m-3)^2}$$ $$\frac{5m^2-4m+1}{(2m-3)^2} < 1 \Leftrightarrow m^2+8m-8 < 0 \Leftrightarrow m \in \left(-4-2\sqrt{6},\,-4+2\sqrt{6}\right)$$ Odp. $m \in \left(-4-2\sqrt{6},\,0\right) \cup \left(0,\,\dfrac{1}{9}\right)$.