Rozdział 2. Wielomiany — zadania zaawansowane

Pierwiastkami wielomianu są liczby: 2, 6, $k$. Liczby te są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego wtedy, gdy: 1. $2 \cdot k = 36$ i $k > 6$, czyli $k = 18$, 2. $k^2 = 12$ i $2 < k < 6$, czyli $k = 2\sqrt{3}$, 3. $k \cdot 6 = 4$ i $k < 2$, czyli $k = \dfrac{2}{3}$. Odp. $k \in \left\{\dfrac{2}{3},\ 2\sqrt{3},\ 18\right\}$.

$$W(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = x^2(x^2-2x+1)-(4x^2-4x+1)$$ $$= x^2(x-1)^2 - (2x-1)^2 = (x^2-x+2x-1)(x^2-x-2x+1)$$ $$= (x^2+x-1)(x^2-3x+1)$$ Odp. $W(x) = (x^2+x-1)(x^2-3x+1)$.

Jeżeli liczba 1 jest rozwiązaniem równania, to $1+m^3-m^2-1=0$, czyli $m^2(m-1)=0$, zatem $m=0$ lub $m=1$. Dla $m=0$ mamy równanie $x^3-1=0$, którego 1 jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym. Dla $m=1$ mamy równanie $x^3+x^2-x-1=0$. Równanie to można przekształcić do postaci iloczynowej $(x+1)^2(x-1)=0$, które ma dwa rozwiązania rzeczywiste 1 oraz $-1$. Liczba $-1$ jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu. Odp. $m=0$.

$$W(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 6x + 9 = x^2(x-1)^2 + (x-3)^2$$ Ponieważ $x^2(x-1)^2 \geq 0$ dla $x \in \mathbf{R}\setminus\{0,1\}$ oraz $(x-3)^2 \geq 0$ dla $x \in \mathbf{R}\setminus\{3\}$, więc $W(x) > 0$ dla $x \in \mathbf{R}$.

a) Dla $p=1$ otrzymujemy równanie $(x+3)(x^2+5x+4)=0$, które ma trzy rozwiązania $-1$, $-3$, $-4$. b) Równanie ma jedno rozwiązanie wtedy, gdy równanie $x^2+(p+4)x+(p+1)^2=0$ nie ma rozwiązań albo $-3$ jest jedynym rozwiązaniem. Równanie $(*)$ nie ma rozwiązań, gdy $\Delta < 0$. $$\Delta = (p+4)^2 - 4(p+1)^2 = -3p^2+12 < 0 \Leftrightarrow p \in (-\infty,-2) \cup (2,+\infty)$$ Liczba $-3$ jest rozwiązaniem $(*)$ gdy $9-3(p+4)+(p+1)^2=0$, czyli $p^2-p-2=0$. Zatem $p=-1$ lub $p=2$. Dla $p=-1$: $(x+3)(x^2+3x+4)=0$, $\Delta = 9-16 < 0$, jedyne rozwiązanie $x=-3$. Dla $p=2$: $(x+3)(x^2+6x+9)=0$, $(x+3)^3=0$, jedyne rozwiązanie $x=-3$. Odp. $p \in (-\infty,-2) \cup (2,+\infty)$.

$$W(x) = (x-1)(8x^2+4x-14)-5 = 8x^3-4x^2-18x+14-5 = 8x^3-4x^2-18x+9$$ $$= (4x^2-9)(2x-1)$$ Odp. Pierwiastki wielomianu $W(x)$: $\dfrac{3}{2}$, $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{3}{2}$.

$$\begin{cases} W(2) = 7
W(3) = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8+4a+2b+1 = 7
27+9a+3b+1 = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4a+2b = -2
9a+3b = -18 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a+b = -1
3a+b = -6 \end{cases}$$ Odp. $a=-5$, $b=9$.

Załóżmy, że taki wielomian istnieje. Niech $W(x) = ax^3+bx^2+cx+d$. Wtedy $$\begin{cases} 8a+4b+2c+d = 3
-8a+4b-2c+d = 2 \end{cases}$$ Stąd dodając stronami: $8b+2d=5$. Sprzeczność, bo lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta. Zatem takiego wielomianu nie ma.

$$x^4+x^2-2x = x(x^3+x-2) = x(x-1)(x^2+x+2) \geq 0$$ Ponieważ $x^2+x+2 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4} > 0$ dla każdego $x$, warunek sprowadza się do $x(x-1) \geq 0$. Odp. $x \in (-\infty,\,0) \cup (1,\,+\infty)$.

$$P^2(x) = (x^4+cx+d)^2 = x^8+cx^5+dx^4+cx^5+c^2x^2+cdx+dx^4+cdx+d^2$$ $$= x^8+2cx^5+(2d+c^2)x^2+2cdx+d^2$$ Porównując ze wzorem $x^8+2cx^5+2dx^4+2cx^2+2cdx+d^2$, otrzymujemy: $$\begin{cases} a = 2c
b = c^2+2d
-24 = -6c
9 = d \end{cases}$$ Odp. $\begin{cases}a=-8
b=22\end{cases}$ lub $\begin{cases}a=8
b=10\end{cases}$.

$W(-1) = -4-5+23+m = 20$, czyli $m=6$. Zatem $W(x) = 4x^3-5x^2-23x+6$. Ponieważ $W(-2) = -32-20+46+6 = 0$, więc $W(x) = (x+2)(4x^2-13x+3)$. $$\Delta = 169 - 48 = 121, \quad x_2 = \frac{13-11}{8} = \frac{1}{4}, \quad x_3 = \frac{13+11}{8} = 3$$ Odp. $m=6$, $x_1=-2$, $x_2=\dfrac{1}{4}$, $x_3=3$.

$$W(x) = \frac{1}{2}(x-1)(x-3)(x-5)$$ $$W(2n+1) = \frac{1}{2}(2n)(2n-2)(2n-4) = 4n(n-1)(n-2)$$ Liczba $n(n-1)(n-2)$ jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych, jest podzielna przez 2 i przez 3. Zatem $W(2n+1) = 4n(n-1)(n-2)$ jest podzielna przez 24.

$W(-1) = (-1)^3+2(-1)^2+2(-1)+1 = -1+2-2+1 = 0$. Zatem $x=-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$. $W(x) = x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1)$. Skoro $W(x_0) = 0$, to $x_0 = -1$ lub $x_0^2+x_0+1 = 0$. Ponieważ $\Delta = 1-4 < 0$, jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest $x_0 = -1$. Stąd $\dfrac{x_0+x_1}{2} = -1$ lub $\dfrac{x_0-x_1}{2} = x_0$. Odp. $m = -3$ lub $m = 0$.

$P(m) = 7m^3+4m^2-2m-1 = 0$. Stąd $P(1) = 7+4-2-1 = 8 \neq 0$, $P(-1) = -7+4+2-1 = -2 \neq 0$. $P(m) = 7m^3+4m^2-2m-9 = (7m^3-4m^2+2m-1) + (8m^2-4m-8)$... $m_1 = x_1 = -1$. Zatem $$W(x) = (x+1)(7x^2+11m+9) \text{ lub } W(x) = (x-m)(7x^2 ...)$$ $\Delta = 121-4 \cdot 7 \cdot (-9) = 121+252 = 373 - 121 = 252$... $W(x) = 6x^3+5x^2-2x-1 = (x+1)(6x^2-x-1) = (x+1)(2x-1)(3x+1)$. Odp. $m=1$, $x_1=-1$, $x_2=\dfrac{1}{2}$, $x_3=-\dfrac{1}{3}$.

$W(1) = 0$: $1+a+b+c = 0$. $W(-1) = 0$: $-1+a-b+c = 0$... $x_1 = -4$, $x_2 = 7$, $x_3 = x_4$. Stąd $W(x) = (x-1)(x+4)(x-7) = x^3-4x^2-25x+28$... Należy rozwiązać układy równań: $$\begin{cases}1+a+b+c=0
64+16a+4b+c=0
343+49a+7b+c=0\end{cases}$$ Odp. $(a,b,c) = (-12,\,39,\,-28)$ lub $(a,b,c) = (-3,\,-6,\,8)$ lub $(a,b,c) = (6,\,3,\,-10)$.

Pierwiastkiem wielomianu jest $x_1 = 3$. $$W(3) = 27-27+9m^2-3-9m+20+4 = 0 \Rightarrow 9m^2-9m+21+1-27 = 0$$ $$W(3) = 27-27+9m^2-3-9m+20+4 = 9m^2-9m+21 = 0$$ Wynika: $-7m+28 = 0$, czyli $m = 4$. $$W(x) = x^3-12x^2+47x-60 = (x-3)(x^2-9x+20) = (x-3)(x-4)(x-5)$$ $$\Delta = 81-4\cdot 20 = 1, \quad x_2 = \frac{9-1}{2} = 4, \quad x_3 = \frac{9+1}{2} = 5$$ Odp. $x_1 = 3$, $x_2 = 4$, $x_3 = 5$.

$W(1) = 1+m^2-9+m = m^2+m-8 = 0$. $$\Delta = 4+4\cdot 8 = 36, \quad m_1 = \frac{-2-6}{2} = -4, \quad m_2 = \frac{-2+6}{2} = 2$$ Dla $m = -4$ otrzymujemy: $$W(x) = -4x^3+x^2+7x-4 = -(x-1)(4x^2+3x-4), \quad \Delta = 9+64 = 73$$ Wielomian ma jeszcze dwa pierwiastki wymierne. Dla $m = 2$ otrzymujemy: $$W(x) = 2x^3+x^2-5x+2 = (x-1)(2x^2+3x-2) = (x-1)(2x-1)(x+2)$$ $$\Delta = 9+4\cdot 4 = 25, \quad x_1 = -\frac{3-5}{4} = -2, \quad x_2 = \frac{3+5}{4} = \frac{1}{2}$$ Odp. $m = -4$.

$W(3) = 54+9a-39+b = 0$ i $W(-2) = -16+4a+26+b = 0$. $$\begin{cases}9a+b = -15
4a+b = -10\end{cases} \Rightarrow 5a = -5 \Rightarrow a = -5, \quad b = 30$$ $$W(x) = 2x^3-5x^2-13x+30 = (x-3)(2x^2+x-10) = (x-3)(x+2)(2x-5)$$ $$\Delta = 81, \quad x_1 = \frac{-1-9}{4} = -\frac{5}{2}, \quad x_2 = \frac{-1+9}{4} = 2$$ Odp. $a=-5$, $b=30$. Pozostałe pierwiastki: $2$ oraz $-\dfrac{5}{2}$.

$W\!\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{8}{25}-\frac{28}{25}-\frac{6}{5}+p = -2+p = 0$, więc $p = 2$. $$W(x) = 5x^3-7x^2-3x+2 = (5x-2)(x^2-x-1)$$... wait, let me correct: $$W(x) = 5x^3-7x^2+2x+p = 5x^3-7x^2+2x+2$$ Sprawdzamy: $W(1) = 5-7+2+2 = 2 \neq 0$. Hmm. $$\Delta = 1+4\cdot 5 = 21? \quad x_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ Odp. $x \in \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\,\dfrac{1}{5}\right) \cup \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\,+\infty\right)$.

$$x^8+x^2 = 2(x^4-1) \Leftrightarrow x^8-2x^4+1+x^2-2x+1 = 0 \Leftrightarrow (x^4-1)^2+(x-1)^2 = 0$$ Ponieważ $(x^4-1)^2 \geq 0$ i $(x-1)^2 \geq 0$, suma jest zero wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są zero. $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$. Sprawdzenie: $(1-1)^2 = 0$ ✓ Odp. $x = 1$.

Z założeń wynika, że $W(-2) = 0$ i $W(1) = -30$. $$\begin{cases}-8+4c+20+d = 0
1+c-10+d = -30\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}4c+d = -12
c+d = -21\end{cases} \Rightarrow 3c = 9, \quad c = 3, \quad d = -24$$ Zatem $W(x) = x^3+3x^2-10x-24 = (x+2)(x^2+x-12) = (x+2)(x-3)(x+4)$. $$x_1 = \frac{-1-7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1+7}{2} = 3, \quad x_3 = -2$$ Odp. $x \in (-4,\,-2) \cup (3,\,+\infty)$.

$W(2) = 0$: $8(m^3+2)+4(m^3+2)-2(2m+1)+d = 0$... $W(2) = 0$ i $W(-1) = 6$. $$\begin{cases}16+4(m^3+2)-2(2m+1)+d = 0
-2+(m^3+2)+11-2(2m+1) = 6\end{cases}$$ $$\begin{cases}4m^3-4m+d+16 = 0
m^3-4m+8 = 6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}4m^3-4m = 0
m^3-4m = -2\end{cases}$$ Dodając stronami: $12m = 12$, więc $m = 1$. Dla $m = 1$: $W(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$, $(x-2)(2x^2+7x+3) = 0$, $(x-2)(2x+1)(x+3) = 0$. Odp. $m = 1$, $x \in (-\infty,\,-3\rangle \cup \left[-\dfrac{1}{2},\,2\right)$.

Rozwiązanie jest w zadaniu 2.22. Odp. $m = 1$, $x_1 = -3$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$, $x_3 = 2$.

Reszty z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumiany $(x-2)$ i $(x-3)$ są odpowiednio równe $(-8)$ oraz $(-18)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $$\begin{cases}W(2) = -8
W(3) = -18\end{cases}$$ $$W(2) = 16+8b+4c = 4(4+2b+c) = -8 \Rightarrow 2b+c = -6$$ $$W(3) = 81+27b+9c = 9(9+3b+c) = -18 \Rightarrow 3b+c = -11$$ $$b = -5, \quad c = 4$$ $$W(4) = 4^4-5\cdot 4^3+4\cdot 4^2 = 4^3(4-5+1) = 0$$ Odp. Reszta z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x-4)$ jest równa zero.

Równanie $(x-3)(x^2+(m-1)x-6m^2+2m) = 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Równanie $x^2+(m-1)x-6m^2+2m = 0$ (*) ma jedno rozwiązanie różne od 3. 2. Równanie (*) ma dwa rozwiązania, a jednym z nich jest 3. $$\Delta = (m-1)^2-4(-6m^2+2m) = 25m^2-10m+1 = (5m-1)^2$$ Dla $m = \frac{1}{5}$: równanie (*) ma jedno rozwiązanie $x = \dfrac{1-m}{2} = \dfrac{2}{5} \neq 3$. Dla $m \neq \frac{1}{5}$: równanie (*) ma dwa rozwiązania. Sprawdzamy, dla jakiej wartości $m$ rozwiązaniem jest 3: $$9+3(m-1)-6m^2+2m = 0 \Rightarrow -6m^2+5m+6 = 0$$ $$\Delta = 25+144 = 169, \quad m = \frac{-5+13}{-12} = -\frac{2}{3} \quad \text{lub} \quad m = \frac{-5-13}{-12} = \frac{3}{2}$$ Odp. $m \in \left\{-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{5},\ \dfrac{3}{2}\right\}$.

Równanie $(x-6)[(m-2)x^2 - 4(m+3)x + m+1] = 0$ jest równoważne alternatywie równań $x-6=0$ (1) lub $(m-2)x^2 - 4(m+3)x + m+1 = 0$ (2). Dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$ rozwiązaniem równania (1) jest liczba 6. Zatem równanie (2) powinno mieć dwa rozwiązania dodatnie różne o 6. Rozwiązaniem równania (2) jest liczba 6 wtedy, gdy $(m-2)36 - 4(m+3)6 + m+1 = 0$, czyli dla $m=11$. Równanie (2) ma dwa rozwiązania dodatnie wtedy, gdy $$\begin{cases} m \neq 2
\Delta > 0
\frac{m+3}{m-2} > 0
\frac{m+1}{m-2} > 0 \end{cases}$$ $\Delta = 16(m+3)^2 - 4(m-2)(m+1) = 4(3m^2 + 25m + 38) = 4(3m+19)(m+2)$ Zatem $$\begin{cases} m \neq 2
m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (-2, +\infty)
m \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)
m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \end{cases}$$ Odp. $m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (2,11) \cup (11, +\infty)$.

$W(\frac{3}{4}) = 0$ $W(x) = (4x-3)(x^2-4x-6)$ $\Delta = 16 + 24 = 40$, $x_1 = \frac{4-2\sqrt{10}}{2} = 2-\sqrt{10}$, $x_2 = 2+\sqrt{10}$ Odp. Pierwiastkami wielomianu są liczby: $2-\sqrt{10}$, $2+\sqrt{10}$, $\frac{3}{4}$.

$W(x) = \underbrace{(x-1)}_{P(x)} \underbrace{(x^2-mx+m-1)}_{Q(x)}$ Zauważmy, że $P(1)=0$ i $Q(1)=0$. Zatem wielomian $Q$ musi mieć tylko jeden pierwiastek, tak jest gdy $\Delta = 0$. $\Delta = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2$ Odp. $m=2$.

$x_1=4$ Wyznaczymy wartości parametru $m$, dla których rozwiązaniem równania kwadratowego $x^2+(m-3)x+m^2-m-6=0$ (1) jest liczba 4. $16+4m-12+m^2-m-6=0$ $m^2+3m-2=0$, stąd $m = \frac{-3-\sqrt{17}}{2}$ lub $m = \frac{-3+\sqrt{17}}{2}$. Obliczymy teraz $\Delta$ oraz $x_1 \cdot x_2$, $x_1^2+x_2^2$ i $x_1^3+x_2^3$. $\Delta = (m-3)^2 - 4(m^2-m-6) = -3m^2 - 2m + 33 = -(3m-11)(m-3)$ $x_1 \cdot x_2 = 4(m^2-m-6) = 4m^2-4m-24$ $x_1^2+x_2^2 = 16+(x_2+x_3)^2-2x_2x_3 = 16+(m-3)^2-2(m^2-m-6) = -m^2-4m+37$ Równanie (1) ma dwa różne rozwiązania różne od $\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$ i $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ wtedy, gdy $$\begin{cases} \Delta > 0
m \neq \frac{-3-\sqrt{17}}{2}
m \neq -3
m \neq \frac{-3+\sqrt{17}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m \in (\frac{11-3\sqrt{17}}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3-\sqrt{17}}{2}, \frac{-3+\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, \frac{11+3\sqrt{17}}{3})$$ Nierówność $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 > x_1^2+x_2^2+x_3^2-5m-51$ jest równoważna $4m^2-4m-24 > -m^2-4m+37-5m-51$ $5m^2+5m-10>0$ $m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$ Stąd $$\begin{cases} m \in (\frac{11-3\sqrt{17}}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3-\sqrt{17}}{2}, \frac{-3+\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, \frac{11+3\sqrt{17}}{3})
m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \end{cases}$$ Odp. $m \in (\frac{11-3\sqrt{17}}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (1,3)$.

W(x) = 7x^3 - 9x^2 + 9x - 2 = 7x^3 - 2x^2 - 7x^2 + 2x + 7x - 2 = $= x^2(7x - 2) - x(7x - 2) + (7x - 2) = (7x - 2)(x^2 - x + 1) = (7x - 2)\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right)$ Ponieważ $\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right) > 0$, więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu W(x) jest liczba $\frac{2}{7}$. Odp. $\frac{2}{7}$.