Dimon Academy
20 zadań z matur CKE (poziom rozszerzony).
Zadanie 3.1 [matura CKE dla chętnych, maj 2002, zadanie 16. (7 pkt)]
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji $f(x)=2^{x+1}$ oraz $g(x)=\left|\frac{x+1}{x}\right|$. Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań równania $f(x)=g(x)$.
Odp. Równanie ma dwa ujemne rozwiązania. [WYKRES]
Zadanie 3.2. [matura, maj 2005, zadanie 11. (3 pkt)]
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log _{x^{2}-3}\left(x^{3}+4 x^{2}-x-4\right)$ i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Do dziedziny funkcji f należą liczby rzeczywiste spełniające następujący układ nierówności
$$\begin{cases} x^2 - 3 > 0
x^2 - 3 \neq 1
x^3 + 4x^2 - x - 4 > 0 \end{cases}$$
Rozwiązaniem pierwszej nierówności są liczby $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.
Rozwiązaniem drugiej nierówności są liczby $x \in \mathbb{R} - \{-2, 2\}$.
Wielomian występujący w ostatniej nierówności rozłożymy na czynniki pierwszego stopnia i naszkicujemy wykres.
$x^3 + 4x^2 - x - 4 = (x^2 - 1)(x + 4) = (x - 1)(x + 1)(x + 4)$
Rozwiązaniem nierówności $x^3 + 4x^2 - x - 4 > 0$ są liczby $x \in (-4, -1) \cup (1, +\infty)$.
Zatem
$$ \begin{cases} x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)
x \in \mathbb{R} - \{-2, 2\}
x \in (-4, -1) \cup (1, +\infty) \end{cases} $$
[WYKRES]
Odp. $D = (-4, -2) \cup (-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2) \cup (2, +\infty)$.
Zadanie 3.3. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2005, zadanie 13. (5 pkt)]
Sporządź wykres funkcji $f(x)=\left|\frac{x-4}{x-2}\right|$, a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których równanie $\left|\frac{x-4}{x-2}\right|=k$, ma dwa rozwiązania, których iloczyn jest liczbą ujemną.
[WYKRES] Odp. $k \in (1, 2)$.
Zadanie 3.4. [matura, styczeń 2006, zadanie 11. (6 pkt)]
Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(m)=x_{1} \cdot x_{2}$, gdzie $x_{1}, x_{2}$ są różnymi pierwiastkami równania $(m+2) x^{2}-(m+2)^{2} x+3 m+2=0$, w którym $m \in \boldsymbol{R} \backslash\{-2\}$
Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy
$$ \begin{cases} \Delta > 0
m \neq -2 \end{cases} $$
$$\Delta = (m + 2)^4 - 4(m + 2)(3m + 2) = (m + 2)((m + 2)^3 - 4(3m + 2)) =$$
$$= m^2(m + 2)(m + 6) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -6) \cup (-2, 0) \cup (0, +\infty)$$
Dziedzina funkcji $f: (-\infty, -6) \cup (-2, 0) \cup (0, +\infty)$
$f(m) = x_1 \cdot x_2 = \frac{3m + 2}{m + 2} = 3 + \frac{-4}{m + 2}$
[WYKRES]
Zadanie 3.5. [matura próbna CKE, listopad 2006, zadanie 1. (5 pkt)]
Funkcja homograficzna $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{p x-3}{x-p}$, gdzie $p \in \boldsymbol{R}$ jest parametrem i $|p| \neq \sqrt{3}$.
a) Dla $p=1$ zapisz wzór funkcji w postaci $f(x)=k+\frac{m}{x-1}$, gdzie $k$ oraz $m$ są liczbami rzeczywistymi.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których w przedziale ( $p,+\infty$ ) funkcja $f$ jest malejąca.
a) $f(x) = \frac{x-3}{x-1} = \frac{x-1-2}{x-1} = 1 + \frac{-2}{x-1}$, czyli $k=1$, $m=-2$. b) $f(x) = \frac{px-3}{x-p} = \frac{p(x-p) + p^2-3}{x-p} = p + \frac{p^2-3}{x-p}$. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(p, +\infty)$ wtedy, gdy $p^2-3 > 0$. Odp. $p \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.
Zadanie 3.6. [matura, maj 2008, zadanie 5. (5 pkt)]
Dane jest równanie $\left|\frac{2}{x}+3\right|=p$ z niewiadomą $x$. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru $p$.
Odp. Dla $p \in (-\infty, 0)$ równanie nie ma rozwiązań, dla $p \in \{0, 3\}$ równanie ma jedno rozwiązanie, dla $p \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$ równanie ma dwa rozwiązania. [WYKRES]
Zadanie 3.7. [matura, maj 2008, zadanie 9. (4 pkt)]
Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=\log _{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(8 x-x^{2}\right)$.
Do dziedziny funkcji $f$ należą liczby rzeczywiste spełniające nierówność $8x-x^2 > 0$, czyli $x \in (0, 8)$. Funkcja logarytmiczna o podstawie $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ jest funkcją malejącą, zatem funkcja $f$ osiąga wartość najmniejszą wtedy, gdy funkcja $h(x) = 8x-x^2$ osiąga wartość największą. Funkcja $h$ osiąga wartość największą dla argumentu $4$. Zatem wartość najmniejsza funkcji $f$ wynosi $$f(4) = \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\log_2 \sqrt{2} - \log_2 2} = \frac{4}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{4}{-\frac{1}{2}} = -8$$ Odp. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $(0, 8)$, najmniejsza wartość funkcji wynosi $(-8)$.
Zadanie 3.8. [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 1. (3 pkt)] Na rysunku narysowano fragment wykresu funkcji $f(x)=2^{x-3}-b$ określonej dla $x \in \boldsymbol{R}$.
a) Podaj wartość $b$.
b) Naszkicuj wykres funkcji $g(x)=|f(x)|$.
c) Podaj wszystkie wartości parametru $p$, dla których równanie $g(x)=p$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
a) $b=2$ [WYKRES] b) [WYKRES] c) $p \in (2, +\infty) \cup \{0\}$.
Zadanie 3.9. [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 5. (3 pkt)] Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $h$ otrzymanego przez przesunięcie o wektor $[2,1]$ wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=\frac{a}{x}$ dla $x \in \boldsymbol{R}$ i $\dot{x} \neq 0$.
Wyznacz wzór funkcji $h$, a następnie sprawdź, czy punkt $M=(\sqrt{3},-2 \sqrt{3}-3)$ należy do jej wykresu.//
$h(x) = \frac{2}{x-2} + 1$ $$h(\sqrt{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}-2} + 1 = \frac{2(\sqrt{3}+2)}{3-4} + 1 = -2\sqrt{3}-4+1 = -2\sqrt{3}-3$$ Punkt $M$ należy do wykresu funkcji $h$.
Zadanie 3.10. [matura, maj 2009, zadanie 3. (4 pkt)] Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej $f(x)=a^{x}$ dla $x \in \boldsymbol{R}$.
a) Oblicz $a$.
b) Narysuj wykres funkcji $g(x)=|f(x)-2|$ i podaj wszystkie wartości parametru $m \in \boldsymbol{R}$, dla których równanie $g(x)=m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
$3 = f(2) = a^2$. Zatem $a = \sqrt{3}$. Równanie $g(x) = m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla $m \in (2, +\infty) \cup \{0\}$. [WYKRES]
Zadanie 3.11. [matura, maj 2009, zadanie 6. (5 pkt)]
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log _{2 \cos x}\left(9-x^{2}\right)$ i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Do dziedziny funkcji $f$ należą liczby rzeczywiste spełniające następujący układ nierówności
$$\begin{cases} 2\cos x > 0
2\cos x \neq 1
9-x^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x > 0
\cos x \neq \frac{1}{2}
x \in (-3, 3) \end{cases}$$
Odp. $D = \left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$.
[WYKRES]
Zadanie 3.12. [matura, maj 2013, zadanie 12. (3 pkt)]
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej $f$ określonej wzorem $f(x)=\log _{2}(x-p)$.
a) Podaj wartość $p$.
b) Narysuj wykres funkcji określonej wzorem $y=|f(x)|$.
c) Podaj wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $|f(x)|=m$ ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.//
a) $p = -4$. [WYKRES] $g(x) = |\log_2(x+4)|$ b) [WYKRES] c) Dwa rozwiązania o przeciwnych znakach dla $m \in (2, +\infty)$. Odp. a) $p = -4$; c) $m \in (2, +\infty)$.
Zadanie 3.13. [matura, maj 2014, zadanie 1. (4 pkt)]
Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\frac{|x+3|+|x-3|}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej . $x \neq 0$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
$$f(x) = \frac{|x+3| + |x-3|}{x}$$ Dla $x \in (-\infty, -3)$: $f(x) = \frac{-x-3-x+3}{x} = \frac{-2x}{x} = -2$. Dla $x \in (-3, 3)$: $f(x) = \frac{x+3-x+3}{x} = \frac{6}{x}$. Dla $x \in (3, +\infty)$: $f(x) = \frac{x+3+x-3}{x} = 2$. [WYKRES] $f(x) = \frac{|x+3|+|x-3|}{x}$ Odp. $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
Zadanie 3.14. [matura, czerwiec 2016, zadanie 11. (4 pkt)] Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$.
Rozważamy funkcję $g$ określoną wzorem $g(x)=|f(x+3)-2|$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których równanie $g(x)=k$ ma dwa rozwiązania takie, że ich iloczyn jest liczbą ujemną.
$$g(x) = |f(x+3) - 2| = \left|\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3} - 2\right|$$ Dwa rozwiązania: $k \in (0, 2)$. $$g(0) = \left|\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2\right| = \left|\frac{1}{8} - 2\right| = \frac{15}{8}.$$ [WYKRES] Odp. $x \in \left[\frac{15}{8}, 2\right)$.
Zadanie 3.15. [matura, czerwiec 2019, zadanie 1. (5 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{|x+2|}{x-1}-\frac{x-2}{|x-1|}+3$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 1$. Wyznacz zbiór jej wartości.
Dziedzina: $x \neq 1$. Rozpatrujemy trzy przedziały: Dla $x \in (-\infty, -2)$: $|x+2| = -(x+2)$, $|x-1| = -(x-1)$: $$f(x) = \frac{-x-2}{x-1} - \frac{x-2}{-x+1} + 3 = \frac{-4}{x-1} + 3.$$ Dla $x \in (-2, 1)$: $|x+2| = x+2$, $|x-1| = -(x-1)$: $$f(x) = \frac{x+2}{x-1} - \frac{x-2}{-x+1} + 3 = \frac{2x}{x-1} + 3 = \frac{2}{x-1} + 5.$$ Dla $x \in (1, +\infty)$: $|x+2| = x+2$, $|x-1| = x-1$: $$f(x) = \frac{x+2}{x-1} - \frac{x-2}{x-1} + 3 = \frac{4}{x-1} + 3.$$ [WYKRES] Odp. $\mathbb{R}$.
Zadanie 3.16. [matura, czerwiec 2020, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $\left(\frac{1}{x}-1\right)^{-1} \leq 1$.
Dziedzina: $x \neq 0$, $x \neq 1$.
$$\left(\frac{1}{x}-1\right)^{-1} \leq 1 \Leftrightarrow \left(\frac{1-x}{x}\right)^{-1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{x}{1-x} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{x}{1-x} - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2x-1}{1-x} \leq 0$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} (2x-1)(1-x) \leq 0
x \neq 0
x \neq 1 \end{cases}$$
$(2x-1)(1-x) \leq 0$ gdy $x \leq \frac{1}{2}$ lub $x \geq 1$.
Uwzględniając dziedzinę: $x \in (-\infty, 0) \cup \left(0, \frac{1}{2}\right] \cup (1, +\infty)$.
Odp. $x \in (-\infty, 0) \cup \left(0, \frac{1}{2}\right] \cup (1, +\infty)$.
Zadanie 3.17. [matura, maj 2021, zadanie 7. (3 pkt)]
Rozwiąż nierówność:
$$ \frac{2 x-1}{1-x} \leq \frac{2+2 x}{5 x} $$
Dziedzina nierówności $R \setminus \{0, 1\}$. Przekształcamy nierówność do postaci wielomianowej. $$ \frac{2x-1}{1-x} \leq \frac{2+2x}{5x} $$ $$ \frac{5x(2x-1) - 2(1+x)(1-x)}{5x(1-x)} \leq 0 $$ $$ 5x(1-x)(12x^2-5x-2) \leq 0 $$ $$ 5x(1-x)(3x-2)(4x+1) \leq 0 $$ Pierwiastki $x_1 = -\frac{1}{4}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \frac{2}{3}$, $x_4 = 1$ Z ze szkicu wykresu odpowiedniej funkcji wielomianowej odczytujemy rozwiązanie uwzględniając dziedzinę nierówności. [WYKRES] Odp. $x \in \left(-\infty, -\frac{1}{4}\right] \cup \left(0, \frac{2}{3}\right] \cup (1, +\infty)$.
Zadanie 3.18. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 4. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem
$$ f(x)=\frac{-3 x+41}{x-13} \text { dla } x \neq 13 $$
Punktem kratowym nazywamy punkt w układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi.
Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji $f$.
$$ f(x) = \frac{-3x+41}{x-13} = \frac{-3(x-13)+2}{x-13} = -3 + \frac{2}{x-13} $$ Współrzędne punktu $\left(x, 3 + \frac{2}{x-13}\right)$ są całkowite wtedy, gdy $x$ jest liczbą całkowitą oraz $x-13$ jest dzielnikiem całkowitym liczby $2$. Tak jest dla $x \in \{11, 12, 14, 15\}$. [WYKRES] Odp. Punkty kratowe: $(11, -4)$, $(12, -5)$, $(14, -1)$, $(15, -2)$.
Zadanie 3.19 [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 8. (5 pkt)]
Rozwiąż nierówność
$$ \frac{x-1}{x^{2}-4}-\frac{1}{2-x} \geq \frac{3}{2+x}+2 $$
Zapisz obliczenia.
Dziedzina $x \in R \setminus \{-2, 2\}$. Następujące nierówności są równoważne (uwzględniając dziedzinę) $$ \frac{x-1}{x^2-4} - \frac{1}{2-x} \geq \frac{3}{2+x} + 2 $$ $$ \frac{x-1}{(x-2)(x+2)} + \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} - \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} \geq 0 $$ $$ \frac{-2x^2-x+15}{(x-2)(x+2)} \geq 0 $$ $$ -(2x-5)(x+3)(x-2)(x+2) \geq 0 $$ Odp. $x \in [-3, -2) \cup \left(2, \frac{5}{2}\right]$.
Zadanie 3.20. [matura, maj 2023, zadanie 1. (2 pkt)]
W chwili początkowej $(t=0)$ masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu czasteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19\% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla kazdej liczby całkowitej $t \geq 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili poczatkowej). Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji bedzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama. Zapisz obliczenia.
$m(t) = 4 \cdot \left(\frac{81}{100}\right)^t$ Funkcja $m(t)$ jest funkcją malejącą. $4 \cdot (0.81)^4 > 1.7 > 1.5$ $4 \cdot (0.81)^5 < 1.4 < 1.5$ Odp. Po pięciu dobach.