Zadanie 5.1. [próbna matura CKE, listopad 2006, zadanie 5. (3 pkt)]
Sporządź wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(x)=2|x|-x^{2}$, a następnie, korzystając z niego, podaj wszystkie wartości $x$, dla których funkcja $f$ przyjmuje maksima lokalne i wszystkie wartości $x$, dla których przyjmuje minima lokalne.
Rozwiązanie
Ponieważ $f(-x) = f(x)$, więc funkcja jest parzysta, czyli jej wykres jest symetryczny względem osi $Oy$.
Dla $x \geq 0$ otrzymujemy $f(x) = 2x - x^2$.
[WYKRES]
Funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla dwóch argumentów $-1$ oraz $1$, natomiast minimum lokalne przyjmuje dla argumentu $0$.
Zadanie 5.2
Zadanie 5.2 [matura, maj 2007, zadanie 1. (5 pkt)]
Dana jest funkcja $f(x)=|x-1|-|x+2|$ dla $x \in \boldsymbol{R}$.
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$ dla $x \in(-\infty,-2)$.
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Podaj jej miejsca zerowe.
d) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $f(x)=m$ nie ma rozwiązania.
Rozwiązanie
$$\text{Dla } x \in (-\infty, -2): f(x) = -x+1+x+2 = 3$$
$$\text{Dla } x \in \langle -2, 1\rangle: f(x) = -x+1-x-2 = -2x-1$$
$$\text{Dla } x \in (1, +\infty): f(x) = x-1-x-2 = -3$$
a) Zbiór wartości: $[-3, 3]$.
b) [WYKRES]
Zadanie 5.3
Zadanie 5.3. [matura, maj 2008, zadanie 2. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|x-2|+|3 x-6|<|x|$.
Zadanie 5.13. [matura, czerwiec 2015, zadanie 2. (4 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x-2}{x}$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ takich, że $x \neq 0$. Rozwiąż nierówność $\left|\left|f\left(\frac{1}{x+1}\right)\right|-3\right| \leq 4$.
Zadanie 5.20. [matura, maj 2019, zadanie 1. (5 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$, dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq-2$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
Zadanie 5.22. [matura, czerwiec 2020, zadanie 6. (3 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $|x-5|=(a-1)^{2}-4$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Rozwiązanie
Równanie $x - 5 = (a-1)^2 - 4$ ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy
$$(a-1)^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow (a-1)^2 > 4 \Leftrightarrow |a-1| > 2 \Leftrightarrow a > 3 \text{ lub } a < -1$$
$$\Leftrightarrow a \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$$
Rozwiązaniami równania są liczby $x = (a-1)^2 + 1$ lub $x = 9 - (a-1)^2$.
Pierwsze rozwiązanie jest dodatnie. Drugie rozwiązanie jest dodatnie wtedy, gdy
$$(a-1)^2 < 9 \Leftrightarrow |a-1| < 3 \Leftrightarrow -3 < a-1 < 3 \Leftrightarrow -2 < a < 4$$
Uwzględniając, że $a \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ otrzymujemy $a \in (-2, -1) \cup (3, 4)$.
[WYKRES]
Odp. $a \in (-2, -1) \cup (3, 4)$.
Zadanie 5.23
Zadanie 5.23. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 1. (6 pkt)]
Dany jest układ równań
$$
\left\{\begin{array}{l}
m x+y=m^{2}
4 x+m y=8
\end{array}\right.
$$
z niewiadomymi $x$ i $y$ oraz parametrem $m$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których układ jest oznaczony, a para liczb $(x, y)$ będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek $|x+y|<2$.
Zadanie 5.24. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 2.]
Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=\left|-\frac{1}{4} x^{2}+3 x-5\right|$
dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Fragment wykresu funkcji $g$ w kar-- tezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).
Rozwiązanie
Zadanie złożone — patrz 5.24.1.
Zadanie 5.24.1
Zadanie 5.24.1. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 2.1. (2 pkt)]
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja $g$ przyjmuje w przedziale $[9,11]$. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie
Miejsca zerowe funkcji $g$: $g(2) = 0$, $g(10) = 0$.
Wartości funkcji $g$ dla argumentów 9 oraz 11:
$$g(11) = 2\frac{1}{4}, \quad g(9) = 2\frac{1}{4}$$
Odp. $\left[0, 2\frac{1}{4}\right]$.
Zadanie 5.24.2
Zadanie 5.24.2. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 2.1. (2 pkt)] Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru $m$, dla których równanie $g(x)=|m|$ ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.
