Dimon Academy
25 zadań z matur CKE (poziom rozszerzony).
Zadanie 7.1. [matura, maj 2005, zadanie 14. (5 pkt)]
Oblicz:
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+4+7+\ldots+(3 n-2)}{5+7+9+\ldots+(2 n+3)} $$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1+4+7+\ldots+(3n-2)}{5+7+9+\ldots+(2n+3)} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1+3n-2}{2}\cdot n}{\frac{5+2n+3}{2}\cdot n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2n+8} = \lim_{n\to\infty}\frac{3-\frac{1}{n}}{2+\frac{8}{n}} = \frac{3}{2}$$
Zadanie 7.2 [test diagnostyczny CKE, grudzień 2005, zadanie 15. (5 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci:
$$ 2, \frac{2}{(p-1)}, \frac{2}{(p-1)^{2}}, \frac{2}{(p-1)^{3}}, \cdots $$
Wyznacz wszystkie wartości $p$, dla których granicą tego ciągu jest liczba:
a) 0 .
b) 2 .
Iloraz ciągu geometrycznego $q = \frac{1}{p-1}$, gdzie $p \neq 1$. Ciąg jest zbieżny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{1}{|p-1|} < 1$, czyli $|p-1| > 1$. Stąd $p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$. Ciąg jest zbieżny do 2 wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{1}{p-1} = 1$, czyli $p = 2$. Odp. a) $p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, b) $p = 2$.
Zadanie 7.3. [matura, styczeń 2006, zadanie 14. (4 pkt)]
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok pierwszego trójkąta ma długość $a(a>0)$.
Niech $a_n$ oznacza długość boku $n$-tego trójkąta, natomiast $P_n$ — jego pole. $$a_1 = a, \quad a_{n+1} = a_n \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$P_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad P_n = a_n^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{n+1} = a_{n+1}^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = \left(a_n\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = a_n^2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4}P_n$$ Pola tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = \frac{3}{4}$, więc suma pól wynosi: $$S = \frac{P_1}{1-q} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{3}{4}} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}} = a^2\sqrt{3}$$
Zadanie 7.4. [matura, maj 2006, zadanie 13. (5 pkt)]
Dany jest ciąg $\left(a_{n}\right)$, gdzie $a_{n}=\frac{5 n+6}{10(n+1)}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
a) Zbadaj monotoniczność ciągu $\left(a_{n}\right)$.
b) Oblicz $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$.
c) Podaj największą liczbę $a$ i najmniejszą liczbę $b$ takie, że dla każdego $n$ spełniony jest warunek $a \leq a_{n} \leq b$.
$$a_{n+1} - a_n = \frac{5n+11}{10(n+2)} - \frac{5n+6}{10(n+1)} = \frac{-1}{10(n+2)(n+1)} < 0$$ Ponieważ $\frac{-1}{10(n+2)(n+1)} < 0$, więc $a_{n+1} < a_n$, czyli ciąg jest malejący. $$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{5n+6}{10(n+1)} = \lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{6}{n}}{10+\frac{10}{n}} = \frac{1}{2}$$ Ciąg $(a_n)$ jest malejący, więc $a_1 > a_n$, dla $n \geq 2$, czyli $a = a_1 = \frac{11}{20}$. Jednocześnie każdy wyraz ciągu malejącego jest większy od granicy, zatem $b = \frac{1}{2}$.
Zadanie 7.5. [matura, maj 2006, zadanie 19. (7 pkt)]
Nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: $a_{1}=2$, $a_{n+1}=a_{n} \cdot \log _{2}(k-2)$, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu $\left(a_{n}\right)$.
Iloraz ciągu $q = \log_2(k-2)$, gdzie $k > 2$. Wszystkie wyrazy są różne od zera, gdy $\log_2(k-2) \neq 0$, czyli $k \neq 3$. Suma istnieje, gdy $|q| < 1$, czyli $-1 < \log_2(k-2) < 1$. $$\log_2\frac{1}{2} < \log_2(k-2) < \log_2 2 \Rightarrow \frac{1}{2} < k-2 < 2 \Rightarrow \frac{5}{2} < k < 4$$ Odp. $k \in \left(\frac{5}{2}, 3\right) \cup (3, 4)$.
Zadanie 7.6. [matura, maj 2007, zadanie 11. (4 pkt)]
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_{n}\right)$ wyraża się wzorem $S_{n}=2 n^{2}+n$ dla $n \geq 1$.
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: $a_{2}+a_{4}+a_{6}+\ldots+a_{100}$.
b) Oblicz $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}}{3 n^{2}-2}$.
$a_n = S_n - S_{n-1} = 2n^2+n - 2(n-1)^2 - (n-1) = 4n-1$ dla $n \geq 2$. $$a_2 + a_4 + a_6 + \ldots + a_{100} = \frac{a_2+a_{100}}{2}\cdot 50 = \frac{7+399}{2}\cdot 50 = 10150$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{3n^2-2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+n}{3n^2-2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{3-\frac{2}{n^2}} = \frac{2}{3}$$
Zadanie 7.7. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 8. (2 pkt)]
Oblicz granicę
$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{n+2}-\frac{(n+2)^{2}}{n+444}\right) $$
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2}{n+2} - \frac{(n+2)^2}{n+444}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2(n+444)-(n+2)^3}{(n+2)(n+444)}$$ $$= \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+444n^2 - n^3-6n^2-12n-8}{n^2+446n+888} = \lim_{n\to\infty}\frac{438n^2-12n-8}{n^2+446n+888} = 438$$
Zadanie 7.8. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 12. (3 pkt)]
Niech $P_{n}$ oznacza pole koła o promieniu $\frac{1}{2^{n}}$, dla $n \geq 1$.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $\left(P_{n}\right)$.
$$P_n = \pi\left(\frac{1}{2^n}\right)^2 = \frac{\pi}{4^n}$$ Ciąg geometryczny o ilorazie $q = \frac{1}{4}$ i pierwszym wyrazie $P_1 = \frac{\pi}{4}$. Ponieważ $-1 < \frac{1}{4} < 1$, więc suma nieskończona istnieje: $$S = \frac{P_1}{1-q} = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\pi}{3}$$ Odp. $\frac{\pi}{3}$.
Zadanie 7.9. [matura, maj 2015, zadanie 14. (2 pkt)]
Oblicz granicę
$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{11 n^{3}+6 n+5}{6 n^{3}+1}-\frac{2 n^{2}+2 n+1}{5 n^{2}-4}\right) $$
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1} - \frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right) = \frac{11}{6} - \frac{2}{5} = \frac{55-12}{30} = \frac{43}{30}$$
Zadanie 7.10. [matura, maj 2016, zadanie 8. (2 pkt)]
Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ określony wzorem $a_{n}=\left(\frac{1}{2 x-371}\right)^{n}$ dla $n \geq 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ jest zbieżny.
$$2x-371 > 0 \Rightarrow q = \frac{1}{2x-371} < 1 \Rightarrow 1 < 2x-371 \Rightarrow x > 186$$ Odp. 187.
Zadanie 7.11. [matura, czerwiec 2016, zadanie 6. (2 pkt)] Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$. określony dla $n \geq 1$, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
$$q + q^2 + q^3 + \ldots = \frac{q}{1-q} = 12 \Rightarrow q = 12-12q \Rightarrow 13q = 12 \Rightarrow q = \frac{12}{13}$$ Odp. $a_1 = \frac{12}{13}$.
Zadanie 7.12. [matura, czerwiec 2018, zadanie 11. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg okręgów $\left(o_{n}\right)$ o równaniach $x^{2}+y^{2}=2^{11-n}, n \geq 1$. Niech $P_{k}$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2 k-1}$ wewnętrznym okręgiem $o_{2 k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_{k}$, gdzie $k \geq 1$.
Promień okręgu $o_{2k-1}$ jest równy $r_{2k-1} = \sqrt{2^{11-2k+1}} = \sqrt{2^{12-2k}}$. Promień okręgu $o_{2k}$ jest równy $r_{2k} = \sqrt{2^{11-2k}}$. Stąd pole pierścienia $P_k$: $$p_k = \pi r_{2k-1}^2 - \pi r_{2k}^2 = \pi(2^{12-2k} - 2^{11-2k}) = \pi\cdot 2^{-2k}(2^{12}-2^{11}) = \pi\cdot 2^{11}\cdot 2^{-2k}$$ Zatem pola pierścieni tworzą ciąg o ilorazie $q = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. $$S = \frac{p_1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\pi\cdot 2^{11}\cdot\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\pi\cdot 2^{11}}{3} = \frac{2^{11}\pi}{3}$$ Odp. $S = \frac{2^{11}\pi}{3}$.
Zadanie 7.13. [matura, maj 2019, zadanie 5. (2 pkt)] Oblicz granicę
$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{9 n^{3}+11 n^{2}}{7 n^{3}+5 n^{2}+3 n+1}-\frac{n^{2}}{3 n^{2}+1}\right) $$
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1} - \frac{n^2}{3n^2+1}\right) = \frac{9}{7} - \frac{1}{3} = \frac{27}{21} - \frac{7}{21} = \frac{20}{21}$$
Zadanie 7.14. [matura, lipiec 2020, zadanie 5. (2 pkt)] Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $\left(a_{n}\right)$, określonego dla $n \geq 1$, jest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz ciągu $\left(a_{n}\right)$.
$$\begin{cases} \frac{a_1}{1-q} = 2
\frac{a_1^2}{1-q^2} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1 = 2(1-q)
\frac{4(1-q)^2}{(1-q)(1+q)} = 3 \end{cases}$$
$$\frac{4(1-q)}{1+q} = 3 \Rightarrow 4-4q = 3+3q \Rightarrow 7q = 1 \Rightarrow q = \frac{1}{7}$$
Odp. $q = \frac{1}{7}$.
Zadanie 7.15. [matura, maj 2021, zadanie 5. (2 pkt)] Oblicz granicę
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(3 n+2)^{2}-(1-2 n)^{2}}{(2 n-1)^{2}} $$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+2)^2-(1-2n)^2}{(2n-1)^2} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n+2}{2n-1}\right)^2 - \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1-2n}{2n-1}\right)^2$$ $$= \left(\frac{3}{2}\right)^2 - (-1)^2 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$$
Zadanie 7.16. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 3. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ jest równa 7 , a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.
Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność
$$ \left|\frac{S-S_{n}}{S_{n}}\right|<0,001 $$
gdzie $S_{n}$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$. Zapisz obliczenia.
Z treści zadania:
$$\begin{cases} \frac{a_1(1-q^3)}{1-q} = 7
\frac{a_1}{1-q} = 8 \end{cases}$$
Dzieląc: $1-q^3 = \frac{7}{8}$, czyli $q = \frac{1}{2}$. Zatem $a_1 = 4$.
$$S_n = \frac{4\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{\frac{1}{2}} = 8\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$
$$\left|\frac{S-S_n}{S_n}\right| = \frac{1}{2^n-1} < 0{,}001 \Leftrightarrow 2^n-1 > 1000 \Leftrightarrow n > 9$$
Odp. $n \in \{10, 11, 12, 13, \ldots\}$.
Zadanie 7.17. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 8. (2 pkt)] Oblicz granicę $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{6^{n}+7^{n}} $$
$$7 = \sqrt[n]{7^n} \leq \sqrt[n]{6^n+7^n} \leq \sqrt[n]{2\cdot 7^n} = 7\sqrt[n]{2}$$ Ponieważ $\lim_{n\to\infty} 7\sqrt[n]{2} = 7$ oraz $\lim_{n\to\infty} 7 = 7$, więc z twierdzenia o trzech ciągach: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n} = 7$$
Zadanie 7.18. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 13. (4 pkt)]
W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $\left(a_{n}\right)$, określonym dla $n \geq 1$, jest spełniony warunek
$$ \frac{a_{5}+a_{3}}{a_{3}}=\frac{29}{25} $$
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu ( $a_{n}$ ).
$$\frac{a_5+a_3}{a_3} = \frac{a_5}{a_3}+1 = q^2+1$$ Zatem $q^2 = \frac{4}{25}$. Ciąg geometryczny jest malejący, więc $q = \frac{2}{5}$. $$6 = a_2+a_4+a_6+\ldots = \frac{a_2}{1-q^2} = \frac{25a_2}{21} \Rightarrow a_2 = \frac{126}{25}$$ $$a_2 = a_1\cdot\frac{2}{5} \Rightarrow a_1 = \frac{63}{5}$$ $$a_n = a_1 q^{n-1} = \frac{63}{5}\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} = \frac{63}{2}\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^n$$ Odp. $a_n = \frac{63}{2}\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^n$.
Zadanie 7.19. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 17. (3 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony wzorem
$$ a_{n}=(n+5)^{2} \cdot\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2 p+2}{(n+2)(n+3)}\right) \text { dla } n \geq 1 $$
Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których granica ciągu jest równa 12 .
$$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left[\frac{(n+5)^2}{(n+1)(n+2)}(p+1) + \frac{(n+5)^2}{(n+2)(n+3)}(2p+2)\right] = 3p+3$$ $$3p+3 = 12 \Leftrightarrow p = 3$$ Odp. $p = 3$.
Zadanie 7.20. [matura, maj 2022, zadanie 5. (2 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wzorem $a_{n}=\frac{(7 p-1) n^{3}+5 p n-3}{(p+1) n^{3}+n^{2}+p}$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $\left(a_{n}\right)$ jest równa $\frac{4}{3}$.
Dla $p = -1$: $$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{-8n^3-5n-3}{n^2-1} = -\infty$$ Dla $p \neq -1$: $$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p} = \frac{7p-1}{p+1}$$ $$\frac{7p-1}{p+1} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 21p-3 = 4p+4 \Leftrightarrow 17p = 7 \Leftrightarrow p = \frac{7}{17}$$ Odp. $p = \frac{7}{17}$.
Zadanie 7.21. [matura, maj 2022, zadanie 10. (4 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_{1}=675$ i $a_{22}=\frac{5}{4} a_{23}+\frac{1}{5} a_{21}$.
Ciąg $\left(b_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $\left(b_{n}\right)$. Ponadto $a_{3}=b_{4}$. Oblicz $b_{1}$.
$$a_{22} = \frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21} \Leftrightarrow q^2-\frac{4}{5}q+\frac{4}{25} = 0 \Leftrightarrow \left(q-\frac{2}{5}\right)^2 = 0 \Leftrightarrow q = \frac{2}{5}$$
$$S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{675}{\frac{3}{5}} = 1125$$
Stąd: $\frac{2b_1+24r}{2}\cdot 25 = 1125 \Leftrightarrow b_1+12r = 45$.
$b_1+3r = b_4 = a_3 = a_1 q^2 = 675\cdot\frac{4}{25} = 108$.
$$\begin{cases} b_1+12r = 45
b_1+3r = 108 \end{cases} \Rightarrow 3b_1 = 45+3\cdot108-4\cdot45+...$$
Odejmując: $3b_1 = 387$, $b_1 = 129$.
Odp. $b_1 = 129$.
Zadanie 7.22. [matura, czerwiec 2022, zadanie 10. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $|q|<1$.
Stosunek sumy $S_{N}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_{P}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\frac{S_{N}}{S_{P}}=S_{N}-S_{P}$. Oblicz $q$.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{a}
\end{center}
\end{figure}
Niech $q = a_1$ (iloraz ciągu geometrycznego). Suma wyrazów nieparzystych: $$S_N = \frac{a_1}{1-q^2} = \frac{q}{1-q^2}$$ Suma wyrazów parzystych: $$S_P = \frac{a_1 q}{1-q^2} = \frac{q^2}{1-q^2}$$ $$\frac{S_N}{S_P} = \frac{1}{q}$$ $$\frac{S_N}{S_P} - 1 = \frac{S_N-S_P}{S_P} = \frac{1}{q} - 1 = \frac{1-q}{q}$$ $$S_N - S_P = \frac{q}{1-q^2} - \frac{q^2}{1-q^2} = \frac{q(1-q)}{(1-q)(1+q)} = \frac{q}{1+q}$$ Skoro $\frac{S_N}{S_P} = \frac{1}{q}$ i $S_N - S_P = S_P \cdot \left(\frac{1}{q}-1\right)$, to z warunków zadania: $$\frac{1}{q} - 1 = 1 \Rightarrow q^2-q-1 = 0 \Rightarrow q = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \text{ lub } q = \frac{1+\sqrt{5}}{2} > 1$$ Odp. $q = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Zadanie 7.23. [matura, maj 2023, zadanie 10. (4 pkt)]
Określamy kwadraty $K_{1}, K_{2}, K_{3}, \ldots$ następująco:
\begin{itemize}
\item $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$
\item $K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku 1:3
\item $K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku 1:3
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$,
\item $K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku 1:3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
\end{itemize}
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Niech $a_n$ oznacza długość boku kwadratu $K_n$, a $o_n = 4a_n$ — obwód. $$a_{n+1} = \sqrt{\left(\frac{1}{4}a_n\right)^2+\left(\frac{3}{4}a_n\right)^2} = \frac{\sqrt{10}}{4}a_n$$ $$o_{n+1} = 4a_{n+1} = 4\cdot\frac{\sqrt{10}}{4}\cdot a_n = \frac{\sqrt{10}}{4}\cdot o_n$$ Zatem obwody tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = \frac{\sqrt{10}}{4}$ oraz $o_1 = 4a$. Ponieważ $|q| < 1$, więc suma nieskończona istnieje: $$S = \frac{o_1}{1-q} = \frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}} = \frac{16a}{4-\sqrt{10}} = \frac{16a(4+\sqrt{10})}{6} = \frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a$$ Odp. $\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a$.
Zadanie 7.24. [matura, czerwiec 2023, zadanie 5. (2 pkt)]
Oblicz granicę
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^{3}-2 n+1}{3 n^{3}-n^{2}-2 n+3} $$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{4n^3-2n+1}{3n^3-n^2-2n+3} = \lim_{n\to\infty}\frac{4-\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{3-\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^3}} = \frac{4}{3}$$
Zadanie 7.25. [matura, czerwiec 2023, zadanie 7. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
$$ 2 x-\frac{6 x}{x-1}+\frac{18 x}{(x-1)^{2}}-\frac{54 x}{(x-1)^{3}}+\ldots $$
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $x$ (różnej od 0 i od 1 ), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\frac{15}{2}$. Zapisz obliczenia.
$a_1 = 2x$, $q = \frac{-3}{x-1}$. Suma tego szeregu istnieje i jest równa $\frac{15}{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy: $$\frac{2x}{1+\frac{3}{x-1}} = \frac{15}{2} \Rightarrow \frac{2x(x-1)}{x+2} = \frac{15}{2}$$ $$4x(x-1) = 15(x+2) \Rightarrow 4x^2-19x-30 = 0$$ Rozwiązaniami są $x = 6$ lub $x = -\frac{5}{4}$. Sprawdzamy warunek $\left|\frac{3}{x-1}\right| < 1$: Dla $x=6$: $\left|\frac{3}{5}\right| < 1$ ✓. Dla $x=-\frac{5}{4}$: $\left|\frac{3}{-\frac{9}{4}}\right| = \frac{4}{3} > 1$ ✗. Odp. $x = 6$.