Rozdział 4. Funkcje — ekstrema i własności

$$ f(x) = \sin 2x + \cos \left(\frac{\pi}{6}-2x\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}-2x\right) + \cos \left(\frac{\pi}{6}-2x\right) = $$ $$ = 2 \cos \frac{\frac{\pi}{2}-2x + \frac{\pi}{6}-2x}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{2}-2x - \left(\frac{\pi}{6}-2x\right)}{2} = $$ $$ 2 \cos \left(\frac{\pi}{3}-2x\right) \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \cos \left(\frac{\pi}{3}-2x\right) $$ Zbiorem wartości funkcji $y = \cos \left(\frac{\pi}{3}-2x\right)$ jest przedział $[-1, 1]$, zatem najmniejszą wartością funkcji $f$ jest $-\sqrt{3}$, natomiast największą $\sqrt{3}$. Odp. Najmniejsza wartość $-\sqrt{3}$, największa wartość $\sqrt{3}$.

Równanie $(\cos x - 1) \cdot (\cos x + p + 1) = 0$ jest równoważne alternatywie równań $\cos x = 1$ lub $\cos x = -p-1$. Rozwiązaniem pierwszego równania są liczby $2k\pi$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Dziedzina: $x \neq k\pi$. Następujące równania są równoważne $$\frac{1}{\sin x} + \operatorname{ctg} x + \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 0$$ $$\frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} - \sin x = 0$$ $$1 + \cos x - \sin^2 x = 0$$ $$\cos^2 x + \cos x = 0$$ $$\cos x(\cos x + 1) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{lub} \quad \cos x = -1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{lub} \quad x = \pi + 2k\pi$$ Liczby $\pi + 2k\pi$ nie należą do dziedziny. Odp. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Następujące równania są równoważne $$4\cos^2 x = 4\sin x + 1$$ $$4(1 - \sin^2 x) = 4\sin x + 1$$ $$4\sin^2 x + 4\sin x - 3 = 0$$ $$(2\sin x + 1)^2 = 4$$ $$2\sin x + 1 = 2 \quad \text{lub} \quad 2\sin x + 1 = -2$$ $$\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{lub} \quad \sin x = -\frac{3}{2}$$ Rozwiązaniem pierwszego równania w przedziale $(0, 2\pi)$ są liczby $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$, natomiast drugie równanie nie ma rozwiązań. Odp. $x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$.

Niech $\alpha, \beta$ ($\alpha \le \beta$) oznaczają miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego. Wtedy $\sin \alpha \le \sin \beta < 1$ i $\sin^2 \beta = \sin \alpha$. Jednocześnie $\sin \beta = \cos \alpha$. Zatem $$\cos^2 \alpha = \sin \alpha$$ $$1 - \sin^2 \alpha = \sin \alpha$$ $$\sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1 = 0$$ $$\left(\sin \alpha + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$$ $$\sin \alpha + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \quad \text{lub} \quad \sin \alpha + \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$$ $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \quad \text{lub} \quad \sin \alpha = -\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$ Uwzględniając, że $\sin \alpha > 0$ otrzymujemy odpowiedź. Odp. $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

$2\cos^2 x - 5\sin x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2(1 - \sin^2 x) - 5\sin x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0$. $\Delta = 25 - 16 = 9$, $$\sin x = \frac{-5 - 3}{4} = -2 \quad \text{(sprzeczność)}, \quad \sin x = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ [WYKRES] Odp. $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \quad \text{lub} \quad x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

$2\sin^2 x - 7\cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow 2(1 - \cos^2 x) - 7\cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x + 7\cos x + 3 = 0$. $\Delta = 49 - 24 = 25$, $$\cos x = \frac{-7 - 5}{4} = -3 \quad \text{(sprzeczność)}, \quad \cos x = \frac{-7 + 5}{4} = -\frac{1}{2}$$ Odp. $x = \frac{2\pi}{3} \quad \text{lub} \quad x = \frac{4\pi}{3}$.

$$2\sin^2 x - 2\sin^2 x \cdot \cos x = 1 - \cos x \iff 2\sin^2 x(1 - \cos x) - (1 - \cos x) = 0 \iff$$ $$\iff (2\sin^2 x - 1)(1 - \cos x) = 0 \iff \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ lub } \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ lub } \cos x = 1.$$ [WYKRES] Odp. $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{\pi}{4}$, $x_3 = \frac{3\pi}{4}$, $x_4 = \frac{5\pi}{4}$, $x_5 = \frac{7\pi}{4}$, $x_6 = 2\pi$.

$$6\sin^2 x + 7\cos x - 1 = 0 \iff 6(1 - \cos^2 x) + 7\cos x - 1 = 0 \iff -6\cos^2 x + 7\cos x + 5 = 0.$$ $$\Delta = 49 + 120 = 169, \quad \cos x = \frac{-7-13}{-12} = \frac{20}{-12} \quad \text{(sprzeczność)}, \quad \cos x = \frac{-7+13}{-12} = -\frac{1}{2}.$$ [WYKRES] Odp. $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ lub $x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

$$\cos 2x + 2 = 3\cos x \iff 2\cos^2 x - 1 + 2 - 3\cos x = 0 \iff 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0.$$ $$\Delta = 9 - 8 = 1, \quad \cos x = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2} \text{ lub } \cos x = \frac{3+1}{4} = 1.$$ [WYKRES] Odp. $x_1 = k \cdot 2\pi$, $x_2 = \frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi$, $x_3 = -\frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi$, $k$ dowolna liczba całkowita.

$$\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{4}{3} \implies (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \frac{16}{9} \implies 2\sin \alpha \cos \alpha + 1 = \frac{16}{9} \implies 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{7}{9}.$$ $$|\cos \alpha - \sin \alpha| = \sqrt{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2} = \sqrt{1 - 2\cos \alpha \sin \alpha} = \sqrt{1 - \frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.$$ Odp. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

$$\cos 2x + \cos x + 1 = 0 \iff 2\cos^2 x + \cos x = 0 \iff \cos x(2\cos x + 1) = 0$$ $$\iff \cos x = 0 \text{ lub } \cos x = -\frac{1}{2}.$$ [WYKRES] Odp. $x_1 = \frac{\pi}{2}$, $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, $x_3 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$, $x_4 = \frac{3\pi}{2}$.

$$2\operatorname{tg} x \cdot \cos x + 1 = 2\cos x + \operatorname{tg} x \iff 2\operatorname{tg} x \cdot \cos x - \operatorname{tg} x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$\iff \operatorname{tg} x(2\cos x - 1) - (2\cos x - 1) = 0 \iff (2\cos x - 1)(\operatorname{tg} x - 1) = 0$$ $$\iff \cos x = \frac{1}{2} \text{ lub } \operatorname{tg} x = 1.$$ [WYKRES] Odp. $x_1 = \frac{\pi}{4}$, $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$, $x_3 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, $x_4 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

$$\frac{1+\cos^2 2\alpha}{2} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2}{2} = \frac{2\sin^4 \alpha + 2\cos^4 \alpha}{2} = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha.$$

$$\sqrt{3} \cdot \cos x = 1 + \sin x \iff \sqrt{3} \cdot \cos x - \sin x = 1 \iff \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$$ $$\iff \sin \frac{\pi}{3} \cos x - \cos \frac{\pi}{3} \sin x = \frac{1}{2} \iff \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}.$$ gdzie $t = x - \frac{\pi}{3}$. Zauważmy, że $0 \leq x \leq 2\pi \iff -\frac{\pi}{3} \leq x - \frac{\pi}{3} \leq 2\pi - \frac{\pi}{3} \iff -\frac{\pi}{3} \leq t \leq \frac{5\pi}{3}$. Zatem $t_1 = -\frac{\pi}{6}$ lub $t_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ lub $t_3 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \notin \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right].$ Odp. $x_1 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$, $x_2 = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$. [WYKRES]

$$-2\sin 3x \geq 1 \Leftrightarrow \sin 3x \leq -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin t \leq -\frac{1}{2}, \text{ gdzie } t = 3x.$$ $x \in (0, 2\pi) \Leftrightarrow t \in (0, 6\pi)$. $$t \in \left[\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6}+2\pi, \frac{11\pi}{6}+2\pi\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6}+4\pi, \frac{11\pi}{6}+4\pi\right]$$ $$= \left[\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{31\pi}{6}, \frac{35\pi}{6}\right]$$ Dzielimy przez 3: Odp. $x \in \left[\frac{7\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}\right] \cup \left[\frac{19\pi}{18}, \frac{23\pi}{18}\right] \cup \left[\frac{31\pi}{18}, \frac{35\pi}{18}\right]$.

$$\sin 5x - \sin x = 0 \Leftrightarrow 2\cos 3x \sin 2x = 0$$ $\cos 3x = 0$ lub $\sin 2x = 0$ $$3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$$ $$2x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}$$ Odp. $x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$ lub $x = \frac{k\pi}{2}$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

$$\sin^2 2x - 4\sin^2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow 4\sin^2 x \cos^2 x - 4\sin^2 x + 1 = 0$$ $$\Leftrightarrow 4\sin^2 x(\cos^2 x - 1) + 1 = 0 \Leftrightarrow -4\sin^4 x + 1 = 0$$ $$\Leftrightarrow \sin^4 x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin^2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Odp. $x_1 = \frac{\pi}{4}$, $x_2 = \frac{3\pi}{4}$, $x_3 = \frac{5\pi}{4}$, $x_4 = \frac{7\pi}{4}$.

$$(4\sin^2 x - 1)\cdot\sin x = \cos^2 x - 3\sin^2 x \Leftrightarrow (4\sin^2 x - 1)\cdot\sin x = 1 - 4\sin^2 x$$ $$\Leftrightarrow (4\sin^2 x - 1)\cdot\sin x + (4\sin^2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow (4\sin^2 x - 1)(\sin x + 1) = 0$$ $$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \text{ lub } \sin x = -\frac{1}{2} \text{ lub } \sin x = -1$$ [WYKRES] Odp. $x_1 = \frac{\pi}{6}$, $x_2 = \frac{5\pi}{6}$, $x_3 = \frac{7\pi}{6}$, $x_4 = \frac{3\pi}{2}$, $x_5 = \frac{11\pi}{6}$.

$$\sin 2x + \sqrt{3}\sin x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + \sqrt{3}\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x\left(2\cos x + \sqrt{3}\right) = 0$$ $\sin x = 0$ lub $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $$\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$ [WYKRES] Odp. $x_1 = -\pi$, $x_2 = -\frac{5\pi}{6}$, $x_3 = 0$, $x_4 = \frac{5\pi}{6}$, $x_5 = \pi$, $x_6 = \frac{7\pi}{6}$... (dla odpowiedniej dziedziny).

Dziedzina: $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$. Następujące równania są równoważne $$6\sin x + 2\sqrt{3}\cos^2 x + 3\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0$$ $$6\sin x\cos x + 2\sqrt{3}\cos^3 x + 3\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$$ $$3\sin x(2\cos x + 1) + \sqrt{3}\cos x(2\cos x + 1) = 0$$ $$(2\cos x + 1)(3\sin x + \sqrt{3}\cos x) = 0$$ $\cos x = -\frac{1}{2}$ lub $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Rozwiązanie pierwszego równania są liczby postaci: $-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $\frac{2\pi}{3}+2k\pi$. Drugie równanie jest równoważne z równaniem $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, którego rozwiązaniem są liczby $\frac{5\pi}{6}+k\pi$. Odp. Rozwiązaniami są liczby: $\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $\frac{5\pi}{6}+k\pi$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

$$4\sin(4x)\cos(6x) = 2\sin(10x) + 1$$ $$2(\sin(10x) + \sin(-2x)) = 2\sin(10x) + 1$$ $$2\sin(10x) - 2\sin(2x) = 2\sin(10x) + 1$$ $$-2\sin(2x) = 1, \quad \sin(2x) = -\frac{1}{2}$$ $$2x = -\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{lub}\quad 2x = \pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi = \frac{7\pi}{6}+2k\pi$$ Odp. Rozwiązaniami są liczby: $-\frac{\pi}{12}+k\pi$, $\frac{7\pi}{12}+k\pi$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

$$3\sin^2 x - \sin^2(2x) = 3\sin^2 x - 4\sin^2 x\cos^2 x = \sin^2 x(3 - 4\cos^2 x) = 0$$ $\sin^2 x = 0$ lub $\cos^2 x = \frac{3}{4}$ $\sin x = 0$ lub $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $$x = \pi \lor x = 2\pi \lor x = 2\pi-\frac{\pi}{6} \lor x = \pi+\frac{\pi}{6}$$ [WYKRES] Odp. Rozwiązaniami są liczby: $\pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, 2\pi$.

$$\sin(5x) + \cos x = 0$$ $$\sin(5x) + \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = 0$$ $$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = 0$$ $\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) = 0$ lub $\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) = 0$ $$2x+\frac{\pi}{4} = k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$$ $$3x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3}$$ Z pierwszego wzoru do przedziału $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ należą liczby, gdy $k=0$ lub $k=1$. Z drugiego wzoru do przedziału $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ należą liczby, gdy $k=-1$ lub $k=0$ lub $k=1$. Odp. $-\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, -\frac{5\pi}{24}, \frac{\pi}{8}, \frac{11\pi}{24}$.