Rozdział 16. Optymalizacja i zadania złożone

Zadanie 16.1. [matura CKE dla chętnych, maj 2002, zadanie 15. (6 pkt)]
Objętość walca jest równa $250 \pi \mathrm{~cm}^{3}$. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Zadanie 16.2. [próbna matura CKE, styczeń 2004, zadanie 20. (7 pkt)]
Różnica ciągu arytmetycznego $\left(a_{n}\right)$ jest liczbą mniejszą od 1 . Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia $\frac{a_{1} \cdot a_{49}}{a_{50}}$ wiedząc, że $a_{51}=1$.

Zadanie 16.3. [matura, maj 2005, zadanie 19. (10 pkt)]
Dane jest równanie: $x^{2}+(m-5) x+m^{2}+m+\frac{1}{4}=0$.
Zbadaj, dla jakich wartości parametru $m$ stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.

Zadanie 16.4. [matura, maj 2006, zadanie 18. (7 pkt)]
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej $2 \mathrm{~m}^{3}$ istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa.

Zadanie 16.5. [matura, maj 2007, zadanie 7. (7 pkt)]
Dany jest układ równań: $\left\{\begin{array}{l}m x-y=2
x+m y=m\end{array}\right.$.
Dla każdej wartości parametru $m$ wyznacz parę liczb $(x, y)$, która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy $x+y$ dla $m \in\langle 2,4\rangle$.

Zadanie 16.6. [matura, maj 2010, zadanie 3. (4 pkt)]
Bok kwadratu $A B C D$ ma długość 1 . Na bokach $B C$ i $C D$ wybrano odpowiednio punkty $E$ i $F$ umieszczone tak, by $|C E|=2|D F|$. Oblicz wartość $x=|D F|$, dla której pole trójkąta $A E F$ jest najmniejsze.

Zadanie 16.7. [matura, sierpień 2010, zadanie 3. (5 pkt)]
Dane są punkty $A=(1,5), B=(9,3)$ i prosta $k$ o równaniu $y=x+1$. Oblicz współrzędne punktu $C$ leżącego na prostej $k$, dla którego suma $|A C|^{2}+|B C|^{2}$ jest najmniejsza.

Zadanie 16.8. [matura, maj 2011, zadanie 8. (4 pkt)]
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24 , jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Zadanie 16.9. [matura, czerwiec 2011, zadanie 2. (5 pkt)]
Dany jest kwadrat $A B C D$ o boku równym 2 . Na bokach $B C$ i $C D$ wybrano odpowiednio punkty $E \mathrm{i} F$, różne od wierzchołków kwadratu, takie że $|C E|=|D F|=x$. Oblicz wartość $x$, dla której pole trójkąta $A E F$ jest najmniejsze i oblicz to pole.

Zadanie 16.10. [matura, maj 2012, zadanie 6. (6 pkt)]
W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty $P$ postaci: $P\left(\frac{1}{2} m+\frac{5}{2}, m\right)$, gdzie $m \in\langle 1,7\rangle$. Oblicz najmniejszą i największą wartość $|P Q|^{2}$, gdzie $Q\left(\frac{55}{2}, 0\right)$.

Zadanie 16.11. [matura, czerwiec 2012, zadanie 10. (4 pkt)]
Na płaszczyźnie dane są punkty $A=3,-2$ i $B=(11,4)$. Na prostej o równaniu $y=8 x+10$ znajdź punkt $P$, dla którego suma $|A P|^{2}+|B P|^{2}$ jest najmniejsza.

Zadanie 16.12. [matura, czerwiec 2013, zadanie 11. (4 pkt)]
Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę $120^{\circ}$. Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów dlugości wszystkich boków tego trójkąta.

Zadanie 16.13. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 18. (7 pkt)]
Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm . Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Zadanie 16.14. [matura, maj 2015, zadanie 16. (7 pkt)]
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Zadanie 16.15. [matura, czerwiec 2015, zadanie 16. (7 pkt)]
Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Zadanie 16.16. [matura, czerwiec 2015, zadanie 4. (5 pkt)]
Prosta $l$, na której leży punkt $A=(2,5)$, przecina parabolę o równaniu $y=x^{2}$ w dwóch różnych punktach $B=\left(x_{1}, y_{1}\right), C=\left(x_{2}, y_{2}\right)$. Oblicz wartość współczynnika kierunkowego prostej $l$, przy której suma $y_{1}+y_{2}$ osiągnie wartość najmniejszą.

Zadanie 16.17. [matura, maj 2016, zadanie 16. (7 pkt)] Parabola o równaniu $y=2-\frac{1}{2} x^{2}$ przecina oś $O x$ układu współrzędnych w punktach $A=(-2,0)$ i $B=(2,0)$. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne $A B C D$, których dłuższą podstawą jest odcinek $A B$, a końce $C$ i $D$ krótszej podstawy leżą na

paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu $A B C D$ w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka $C$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Zadanie 16.18. [matura, czerwiec 2016, zadanie 17. (7 pkt)]
Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe $2 \pi$. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Zadanie 16.19. [matura, czerwiec 2016, zadanie 8. (5 pkt)]
Dany jest odcinek $A B$ o długości 10. Rozpatrujemy wszystkie sześciokąty foremne $A C D M E F$ i trójkąty równoboczne $M B G$, których wspólny wierzchołek $M$ léży na odcinku $A B$ (zobacz rysunek).
Oblicz stosunek obwodu sześciokąta $A C D M E F$ do obwodu trójkąta $M B G$ w przypadku, gdy suma pól tych dwóch wielokątów jest najmniejsza.

Zadanie 16.20. [matura, maj 2017, zadanie 15. (7 pkt)] Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $P$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Zadanie 16.21. [matura, czerwiec 2017, zadanie 15. (7 pkt)]
Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy $1: 2$ oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od 28 . Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Zadanie 16.22. [matura, maj 2018, zadanie 15. (7 pkt)]
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy a i wysokości trapezu jest równa 2.
a) Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
b) Wykaż, że obwód $L$ takiego trapezu, jako funkcja długości a dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem $L a=\frac{4 a^{2}-8 a+8}{a}$.
c) Oblicz tangens kạta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Zadanie 16.23. [matura, czerwiec 2018, zadanie 15. (7 pkt)] Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
a) Wyznacz objętość $V$ drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $V$.
c) Oblicz tę wartość $x$, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$ osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Zadanie 16.24. [matura, maj 2019, zadanie 15. (7 pkt)]
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $V=2$. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Zadanie 16.25. [matura, czerwiec 2019, zadanie 15. (7 pkt)]
Dany jest okrąg o środku $S$ i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku $S_{1}$ i promieniu $x$ oraz drugi o środku $S_{2}$ i promieniu $2 x$, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

\begin{itemize} \item rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie; \item obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu 18 ; \item punkty: $S, S_{1}, S_{2}$ nie leżą na jednej prostej. \end{itemize}

Pole trójkąta o bokach $a, b, c$ można obliczyć ze wzoru Herona $P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, gdzie $p$ - jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta $S S_{1} S_{2}$ jako funkcję zmiennej $x$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Zadanie 16.26. [matura, czerwiec 2020, zadanie 15. (7 pkt)] Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe $0,5 \mathrm{~cm}$ każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe $0,3 \mathrm{~cm}$ każda (zobacz rysunek - ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię $60 \mathrm{~cm}^{2}$. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Zadanie 16.27. [matura, czerwiec 2020, zadanie 10. (5 pkt)]

Dany jest kwadrat $A B C D$ o boku długości 2 . Na bokach $B C$ i $C D$ tego kwadratu wybrano - odpowiednio - punkty $P$ i $Q$, takie, że długość odcinka $|P C|=Q D=x$ (zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość $x$, dla której pole trójkąta $A P Q$ osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

Zadanie 16.28. [matura, lipiec 2020, zadanie 15. (7 pkt)] Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa $d$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.

Zadanie 16.29. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 15. (6 pkt)] Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $A B C$, których wierzchołki $A$ i $B$ leżą na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=\frac{9}{x^{4}}$ dla $x \neq 0$. Punkt $C$ ma współrzędne $\left(0,-\frac{1}{3}\right)$, a punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem osi $O y$ (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$, dla których pole trójkąta $A B C$ jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Zadanie 16.30. [matura, maj 2021, zadanie 15. (7 pkt)]
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności $144 \mathrm{~m}^{3}$. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

\begin{itemize} \item 100 zł za $1 \mathrm{~m}^{2}$ dna \item 75 zł za $1 \mathrm{~m}^{2}$ ściany bocznej. \end{itemize}

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Zadanie 16.31. [matura, czerwiec 2021, zadanie 15. (7 pkt)]
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne $A B C$ o przeciwprostokątnej $A B$ i obwodzie równym 4. Niech $x=|A C|$.
a) Wykaż, że pole $P$ trójkąta $A B C$ jako funkcja zmiennej $x$ jest określone wzorem

$$ P(x)=\frac{x(4-2 x)}{4-x} $$

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.
c) Oblicz dlugości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Zadanie 16.32. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 6.]
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek). Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x)=x^{2}$ oraz $g(x)=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4$.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu je-
ziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$.

Zadanie 16.32.1. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 6.1. (2 pkt)]
Niech $R$ będzie punktem leżącym na wykresie funkcji $g$.
Wykaż, że odległość punktu $R$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

$$ |P R|=\sqrt{\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{3}-\frac{13}{8} x^{2}+\frac{39}{8} x+\frac{593}{64}} $$

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$.

Zadanie 16.32.2. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 6.2. (6 pkt)]
Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.
Oblicz współrzędne punktu $K$, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$ toru od początku $P$ ) była możliwie największa.
Oblicz długość najdłuższego toru. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: Przy rozwiqzywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżacym na wykresie funkcji g od punktu $P$ wyraża się wzorem

$$ |P R|=\sqrt{\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{3}-\frac{13}{8} x^{2}+\frac{39}{8} x+\frac{593}{64}} $$

gdzie x jest pierwszq wspólrzędną punktu $R$.

Zadanie 16.33. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 9. (4 pkt)]
Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili $t=0$ znajduje się on w punkcie $\mathcal{O}$ oddalonym od szczytu o 4 km , a położenie $x$ Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem

$$ x(t)=-t^{3}+16,5 t^{2}+180 t \text { dla } t \in[0,24] $$

gdzie $x$ jest wyrażone w metrach, a $t-\mathrm{w}$ godzinach.
Oś $\mathcal{O} x$ jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf

zbliży się do wierzchołka góry, oraz maksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.

Zadanie 16.34. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 19. (4 pkt)]
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości $A, B$ i $C$ oraz zaznaczono odległości między nimi.

O godzinie 9: 00 z miejscowości $A$ do $C$ wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele” i przemieszczał się z prędkością $4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. O tej samej godzinie z miejscowości $B$ do $A$ wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze” i przemieszczał się z prędkością $2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.
Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza.

Zadanie 16.35. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 20. (4 pkt)]
Firma X wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu D , jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący:

$$ P(Q)=90-0,1 Q \text { dla } Q \in[0,900] $$

gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ - ilością produktu w tys. sztuk. Koszty $K$ wytworzenia produktu D zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco:

$$ K(Q)=0,002 Q^{3}+Q^{2}+29,9985 Q+50 $$

gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł.
Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma $X$ osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk.

Zadanie 16.36. [matura, maj 2022, zadanie 15. (7 pkt)]
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.
a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $P(b)=\frac{(18-2 b) \cdot \sqrt{18 b-81}}{2}$.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Zadanie 16.37. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 7. (4 pkt)]
Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji $(480+x)$ litrów dziennie przeciętny koszt $K$ (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

$$ K(x)=\frac{22 x^{2}-621,5 x+23430}{480+x}, \text { gdzie } x \in[0,50] . $$

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt. Zapisz obliczenia.

Zadanie 16.38. [matura, maj 2023, zadanie 16. (7 pkt)]
Rozważamy trójkąty $A B C$, w których $A=(0,0), B=(m, 0)$, gdzie $m \in(4,+\infty)$, a wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-2 x$. Na boku $B C$ tego trójkąta leży punkt $D=(3,2)$.
a) Wykaż, że dla $m \in(4,+\infty)$ pole $P$ trójkąta $A B C$, jako funkcja zmiennej $m$, wyraża się wzorem

$$ P(m)=\frac{m^{2}}{m-4} $$

b) Oblicz te wartość $m$, dla której funkcja $P$ osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej $B C$, przy której funkcja $P$ osiąga tę najmniejszą wartość.

Zadanie 16.39. [matura, czerwiec 2023, zadanie 13. (6 pkt)] Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne $A B C D E F G H$, w których odcinek łączacy punkt $O$ przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ podstawy $A B C D$ z dowolnym wierzchołkiem podstawy $E F G H$ ma długość $d$ (zobacz rysunek).
a) Wyznacz zależność objętości $V$ graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzine funkcji $V(h)$.
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastoshupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.