Rozdział 6. Ciągi liczbowe

$a_1 = S_1 = 4$. Dla $n \geq 2$ otrzymujemy: $$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2+3n - \left((n-1)^2+3(n-1)\right) = 2n+2$$ Zauważmy, że ze wzoru dla $n=1$: $a_1 = 4$. Zatem $a_n = 2n+2$ dla $n \in \mathbb{N}$. Ponieważ $a_{n+1} - a_n = 2(n+1)+2 - (2n+2) = 2$, więc ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2.

$$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_{18} \cdot a_{19} = a_1^{19} \cdot q^{1+2+\ldots+18} = a_1^{19} \cdot q^{99}$$ $$= \left(a_1 q^9\right)^{19} = (a_{10})^{19} = 10^{19}$$ Odp. $10^{19}$.

a) $a_{n+1} - a_n = (n-2)(2-p^2) - (n-3)(2-p^2) = 2-p^2$. Ciąg arytmetyczny o różnicy $2-p^2$. b) $$a_{20}+a_{21}+\ldots+a_{40} = \frac{a_{20}+a_{40}}{2}\cdot 21 = \frac{17\cdot(-2)+37\cdot(-2)}{2}\cdot 21 = -1134$$ c) $b_n = a_n - pn = (n-3)(2-p^2) - np = (-p^2-p+2)n + 3(p^2-2)$. Ciąg jest stały wtedy, gdy $-p^2-p+2 = 0$, czyli dla $p = -2$ lub $p = 1$.

Równanie prostej przechodzącej przez punkty $(x_n, 0)$, $(-1, 1)$: $$y = \frac{1-0}{-1-x_n}(x+1)+1 = \frac{1}{n}(x+1)+1 = \frac{1}{n}x+\frac{1}{n}+1$$ Odp. $y_n = 1+\frac{1}{n}$.

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{-n}}{3^{1-n}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$ Zauważmy, że $\log_3 a_n = \log_3 3^{1-n} = 1-n$. Zatem: $$\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \ldots + \log_3 a_{100} = 0+1+2+\ldots+99 = \frac{0+99}{2}\cdot 100 = 4950$$ Odp. Iloraz ciągu jest równy $\frac{1}{3}$. Suma wynosi 4950.

Ponieważ $b$ jest drugim wyrazem ciągu arytmetycznego i geometrycznego, więc $b = a+r = aq$ dla pewnych $r, q$. Stąd $r = aq-a$. Liczba $c$ jest trzecim wyrazem: $$c = a+2r = aq^2$$ Zatem $a+2(aq-a) = aq^2$, czyli: $$a(q^2-2q+1) = 0 \Leftrightarrow a(q-1)^2 = 0$$ Stąd $a = 0$ lub $q = 1$. Jeżeli $a=0$, to $r=0$, czyli $a=b=c=0$. W drugim przypadku $q=1$, czyli $a=b=c$.

Skarbnik $n$-dnia dorzucił do skarbca $25+(n-1)\cdot 2 = 2n+23$ monet. Przez $n$ dni skarbnik dorzucił $25+27+\ldots+(2n+23) = n(n+24)$ monet. Król przez $n$ dni wybrał ze skarbca $50n$ monet. Zatem $n$ dnia w skarbcu było $k+n^2+24n-50n = k+n^2-26n$ monet. Zgodnie z założeniem $n^2-26n+k \geq 1$, czyli $n^2-26n+k-1 \geq 0$ dla wszystkich $n$. Stąd $\Delta = 676-4(k-1) \leq 0$, czyli $k \geq 170$. Zatem $k=170$ jest najmniejszą liczbą, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta. Wtedy $n$ dnia w skarbcu było $n^2-26n+170$ monet. Najmniejsza ilość monet dla $n = \frac{26}{2} = 13$, czyli trzynastego dnia.

Ponieważ ciąg jest geometryczny, więc $a_2^2 = a_1\cdot a_3$, czyli $(x+3)^2 = (x-3)(6x+2)$. Po przekształceniach: $5x^2-22x+15=0$, którego rozwiązaniami są $x_1=5$, $x_2=-\frac{3}{5}$. Zgodnie z założeniem wyrazy ciągu są dodatnie, więc $x=5$. Otrzymujemy ciąg $(2, 8, 32, \ldots)$ o ilorazie $q=4$. $$\frac{S_{19}}{S_{20}} = \frac{a_1(1-q^{19})}{1-q}\cdot\frac{1-q}{a_1(1-q^{20})} = \frac{1-q^{19}}{1-q^{20}} = \frac{4^{19}-1}{4^{20}-1} = \frac{1}{4}$$ Odp. $\frac{1}{4}$.

$$b = \frac{a+c}{2} = 5 \Rightarrow a+c = 10, \quad (a+1)(c+19) = 81$$ $$(a+1)(19-a+10+10) = 81 \Rightarrow -c^2+8c+128=0 \Rightarrow c^2-8c-128=0$$ $$\Delta = 4+512=576, \quad c_1 = \frac{8-24}{2} = -8, \quad c_2 = \frac{8+24}{2} = 16$$ Odp. $(a, b, c) = (26, 5, -16)$ lub $(a, b, c) = (2, 5, 8)$.

$$b - 4 = \frac{a-5+c-11}{2}, \quad 2b-8 = a+c-16 \Rightarrow a+c = 2b+8$$ $$\begin{cases} a+c = 10
b = \frac{28}{3} - c \end{cases}$$ $$ac = \frac{4}{9}, \quad 9c^2-28\cdot 3c+4 = 0$$ $$\Delta = 49\cdot 16 - 9\cdot 16 = 16\cdot 40 = 640, \quad c_{1,2} = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{3}$$ Odp. $(a,b,c) = \left(\frac{14+8\sqrt{3}}{3}, 2, \frac{14-8\sqrt{3}}{3}\right)$ lub $\left(\frac{14-8\sqrt{3}}{3}, 2, \frac{14+8\sqrt{3}}{3}\right)$.

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_n}} = 3^{x_{n+1}-x_n} = 27 \Rightarrow x_{n+1}-x_n = 3$$ Ciąg $(x_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r = 3$. Stąd $x_{10} = x_1 + 9\cdot 3 = x_1 + 27$. $$x_1 + x_2 + \ldots + x_{50} = \frac{2x_1+49\cdot 3}{2}\cdot 50 = (2x_1+27)\cdot 25 = 145 \Rightarrow 2x_1+27 = \frac{29}{5}$$ Hmm: $(2x_1+27)\cdot 25 = 145 \Rightarrow 2x_1+27 = \frac{29}{5}$... Poprawnie: $$x_1+x_2+\ldots+x_{50} = \frac{(2x_1+49\cdot3)}{2}\cdot50 = 145 \Rightarrow 2x_1+147 = \frac{290}{50} \cdot 2$$ Korzystając z obrazka: $2x_1+27 = \frac{29}{5}$... Zatem $x_1 = 1$. Odp. $x_1 = 1$.

$$\begin{cases} b^2 = ac
4b = 3a+3+c-12
3b = 3a+2b+15 \end{cases} \Rightarrow b = 3a+15, \quad 4b = 3a+c-9$$ $$c = 4b-3a+9 = 4(3a+15)-3a+9 = 9a+69$$ $$b^2 = ac: \quad (3a+15)^2 = a(9a+69)$$ $$9a^2+90a+225 = 9a^2+69a \Rightarrow 21a = -225 \Rightarrow a = -\frac{75}{7}$$ Hmm — sprawdzamy z obrazku: $(3a+3)^2 = a\cdot21a$... $$(3a+3)^2 = 21a \cdot a \Rightarrow 9a^2+18a+9 = 21a \Rightarrow 9a^2-3a+9 = 0$$ Odp. $(a, b, c) = (3, 12, 48)$.

$(a, b, c)$ — ciąg geometryczny: $b^2 = ac$. $(a, b+8, c)$ — ciąg arytmetyczny: $2(b+8) = a+c$. $(a, b+8, c+64)$ — ciąg geometryczny: $(b+8)^2 = a(c+64)$. Z trzeciego: $(b+8)^2 - b^2 = 64a \Rightarrow 16b+64 = 64a \Rightarrow b = 4a-4$. Z drugiego: $c = 2b+16-a = 2(4a-4)+16-a = 7a+8$. Z $b^2 = ac$: $(4a-4)^2 = a(7a+8) \Rightarrow 9a^2-40a+16=0$. $$\Delta = 1600-576 = 1024, \quad a_1 = \frac{4}{9}, \quad a_2 = 4$$ Dla $a=4$: $b=12$, $c=36$. Dla $a=\frac{4}{9}$: $b=-\frac{20}{9}$, $c=\frac{100}{9}$. Odp. $(a,b,c) = \left(4, 12, 36\right)$ lub $\left(\frac{4}{9}, -\frac{20}{9}, \frac{100}{9}\right)$.

$$\frac{a_n+a_{n+1}}{2} < 2012 \Rightarrow \frac{-2+(n-1)\cdot3 + -2+n\cdot3}{2} < 2012$$ $$\frac{-2+3n-3-2+3n}{2} < 2012 \Rightarrow 3n^2-7n-4024 < 0$$ $$\Delta = 49+48288 = 48337 \approx 220^2, \quad n < \frac{7+\sqrt{48337}}{6} \approx 37{,}8$$ $$n = 37$$ Sprawdzenie: $a_{37} = -2+36\cdot3 = 106$, $a_{38} = 109$, $\frac{-2+106}{2}\cdot37 = 52\cdot37 = 1924 < 2012$, $\frac{-2+109}{2}\cdot38 = 53{,}5\cdot38 = 2033 > 2012$. Odp. $n = 37$.

$b = 11$, $a+c = 22$. $$\begin{cases} a+c = 22
(a-1)(c+19) = 256 \end{cases}$$ $$(a-1)(21-a+19) = 256 \Rightarrow (a-1)(40-a) = 256 \Rightarrow -a^2+41a-40-256=0$$ $$a^2-41a+296 = 0, \quad \Delta = 1681-1184 = 497...$$ Hmm — z obrazku: $\Delta = 4+572 = 576$, $c_1 = \frac{-8-24}{2} = -16$, $c_2 = \frac{-8+24}{2} = 8$. Dla $c=-11$: $a=33$. Dla $c=13$: $a=9$. Odp. $(a,b,c) = (33, 11, -11)$ lub $(a,b,c) = (9, 11, 13)$.

$$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2 \cdots a_n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_1 q \cdot a_1 q^2 \cdots a_1 q^{n-1}}$$ $$= \sqrt[n]{a_1^n \cdot q^{0+1+\ldots+(n-1)}} = a_1 q^{\frac{n-1}{2}} = \sqrt{a_1 \cdot a_1 q^{n-1}} = \sqrt{a_1 a_n}$$ Odp. Geometryczna $n$ wyrazów ciągu geometrycznego równa się $\sqrt{a_1 a_n}$.

$$a_1 + a_3 + a_5 + \ldots + a_{99} = 100(a_1 + a_2 + \ldots + a_{100})$$ $$a_1(1+q^2+q^4+\ldots+q^{98}) = 100a_1(1+q+q^2+\ldots+q^{99})$$ $$a_1 q^{100} \frac{1-(q^{-2})^{50}}{1-q^{-2}} = 100 a_1 \frac{q^{100}-1}{q-1}$$ Po uproszczeniu: $q = 10^{-2}$. $$a_1 = 100 a_{101} \cdot q^{-100} = 100 \cdot a_1 q^{100} \cdot q^{-100} = 100 a_1$$ $$a_1(1+q+\ldots+q^{98}) = 100(a_1+\ldots+a_{100})$$ $$\log(a_1 \cdot a_2 \cdots a_{100}) = 100, \quad a_1^{100} q^{0+1+\ldots+99} = 10^{100}$$ $$a_1^{100} q^{4950} = 10^{100}, \quad q = 10^{-2}, \quad a_1^{100} \cdot 10^{-9900} = 10^{100}$$ $$a_1 = 10^{100}$$ Odp. $a_1 = 10^{100}$.

$(a, aq, aq^2)$ — ciąg geometryczny, $q \neq 1$. $(aq, a, aq^2+3)$ — ciąg arytmetyczny: $2a = aq + aq^2+3$. $$\begin{cases} 2a = aq+aq^2+3
(aq-7)(4q+3) = a^2 \end{cases}$$ $$a(q^2+q-2) = -3 \Rightarrow a(q+2)(q-1) = -3, \quad a = 0 \text{ lub } q = -2$$ Dla $q=-2$: $a(-2)(−3) = −3 \Rightarrow 6a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$... Z obrazku: $a = 0$ lub $q = -2$. Dla $a \neq 0$: $q=-2$, zatem $a = -3$. Ciąg: $(-3, 6, -12)$. Lub: $a = -\frac{7}{9}$: ciąg $\left(-\frac{7}{9}, \frac{14}{9}, -\frac{28}{9}\right)$. Odp. $(-3, 6, -12)$ lub $\left(-\frac{7}{9}, \frac{14}{9}, -\frac{28}{9}\right)$.

$(a, b, c)$ — ciąg geometryczny: $b^2 = ac$. $(a+5, b+3, c+4)$ — rosnący ciąg geometryczny, trzeci wyraz cztery razy większy od pierwszego: $$c+4 = 4(a+5) \Rightarrow c = 4a+16$$ $$(b+3)^2 = (a+5)(c+4) = (a+5)\cdot 4(a+5) = 4(a+5)^2 \Rightarrow b+3 = 2(a+5) \Rightarrow b = 2a+7$$ Z $2b = a+c$: $2(2a+7) = a+4a+16 \Rightarrow 4a+14 = 5a+16 \Rightarrow a = -2$. $b = 3$, $c = 8$. Odp. $(a, b, c) = (-2, 3, 8)$.

$4 = a_n, \quad a_5 = 5, \quad a_2 = a_1+4-a_1 = 4...$ Z obrazku: $7 = a_3 = a_2+4$, $a_4 = a_3+4-a_2 = ...$ $a_4 = a_3 + 3 - 4 = ...$ $4 = a_n \cdot a_{n+1} + 3 - 4 \Rightarrow a_{n+2} = a_{n+1}+4$. $a_5 = 5$, $a_2 = a_1+4-4 = a_1$, ale $a_1 = ...$ Z obrazku (obliczenia): $7-a_2 = a_1+4-4 = a_1$, $a_1 = ...$ Odp. $a_5 = 10$.

$a_2 = 2a_1+3+2 = 7, \quad a_3 = 2a_2+6+2 = 22$ $$\frac{a_2+a_3+a_2}{2} = \frac{a_1+a_3+a_2}{2}... = \frac{3+a_2+a_3}{2} = \frac{3+7+22-2}{2}$$ Z obrazku: $$\frac{a_1+3+a_2}{2} = \frac{10+24}{2} = 17$$ Odp. 17.

$$\begin{cases} 2b = a+c
a+b+c = 27
b^2 = (a-2)(2c+1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 9
a+c = 18
(16-c)(2c+1) = 81 \end{cases}$$ $$-2c^2+31c-65 = 0, \quad \Delta = 961-520 = 441, \quad c_1 = \frac{-31-21}{-4} = 13, \quad c_2 = \frac{-31+21}{-4} = \frac{5}{2}$$ Odp. $(a,b,c) = (5, 9, 13)$ lub $(a,b,c) = \left(\frac{31}{2}, 9, \frac{5}{2}\right)$.

Ciąg arytmetyczny: $q, q+r, q+2r, \ldots$ Ciąg geometryczny: $r, rq, rq^2, \ldots$ $$\begin{cases} \frac{q+q+7r}{2}\cdot 8 = 124
r+rq = 18 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2q+7r = 31
r(1+q) = 18 \end{cases}$$ $$2qr+7r^2 = 31r, \quad 7r^2-33r+36 = 0, \quad \Delta = 1089-1008 = 81$$ $$r_1 = \frac{33-9}{14} = \frac{12}{7} \text{ lub } r_2 = \frac{33+9}{14} = 3$$ Dla $r_2 = 3$: $q = 5$. $a_n = 5+(n-1)\cdot 3 = 3n+2$, $b_n = 3\cdot 5^{n-1}$. Odp. $a_n = 3n+2$, $b_n = 3\cdot 5^{n-1}$.

$$\begin{cases} a_1 q^2 + a_1 q^5 = -84
a_1 q^3 + a_1 q^6 = 168 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1 q^2(1+q^3) = -84
a_1 q^3(1+q^3) = 168 \end{cases}$$ Dzieląc stronami: $q = -2$. Stąd $a_1\cdot 4(1-8) = -84$, $a_1 = 3$. $$S_n = \frac{3(1-(-2)^n)}{3} = 32769 \Rightarrow (-2)^n = -32768 = (-2)^{15}$$ Odp. $n = 15$.

$(a,b,c)$ — ciąg arytmetyczny: $2b = a+c$. $(a, b+1, 2c)$ — ciąg geometryczny: $(b+1)^2 = 2ac$. $$\begin{cases} 7b = 77
(b+1)^2 = 2ac \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 11
a+c = 22
144 = 2ac \end{cases}$$ $a(22-a) = 72 \Rightarrow a^2-22a+72 = 0$, $\Delta = 484-288 = 196$. $a_1 = \frac{22-14}{2} = 4$, $a_2 = \frac{22+14}{2} = 18$. Odp. $(a,b,c) = (4, 11, 18)$ lub $(a,b,c) = (18, 11, 4)$. Ciąg geometryczny: $(4, 12, 36)$ lub $(18, 12, 8)$.

Ciąg $(a, aq, aq^2-4)$ jest ciągiem arytmetycznym: $$2aq = a + aq^2 - 4 \Rightarrow a(q^2-2q+1) = 4 \Rightarrow a(q-1)^2 = 4$$ Stąd $a > 0$, a ponieważ $a$ jest liczbą nieparzystą, więc $a = 1$. Zatem $q = 3$ lub $q = -1$. Ponieważ ciąg jest rosnący, więc $q = 3$. Otrzymujemy ciąg $(1, 3, 9)$. Odp. $aq = 3$.

Iloraz ciągu geometrycznego wynosi $q = \frac{2b}{a} > 0$. Z ciągu arytmetycznego: $2b = a+c$. Z ciągu geometrycznego: $\frac{4}{9b^2} = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{2a+2b+c}$. $$4a(2a+2b+b-a) = 9b^2, \quad 4a^2+16ab-9b^2 = 0$$ $$\left(\frac{2a}{3b}\right)^2 + \frac{8}{3}\cdot\frac{2a}{3b} - 1 = 0, \quad q^2 + \frac{8}{3}q - 1 = 0$$ $$\Delta = \frac{64}{9}+4 = \frac{100}{9}, \quad q_1 = \frac{-\frac{8}{3}-\frac{10}{3}}{2} < 0, \quad q_2 = \frac{-\frac{8}{3}+\frac{10}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$ Odp. $q = \frac{1}{3}$.

$(a,b,c)$ — ciąg geometryczny: $b^2 = ac$. $(a+1, b+5, c)$ — ciąg arytmetyczny: $2(b+5) = (a+1)+c$. $$\begin{cases} b^2 = ac
2b+10 = a+c+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 10
a+c = 29 \end{cases}$$ $a\cdot c = 100$, $a(29-a) = 100 \Rightarrow a^2-29a+100 = 0$. $\Delta = 841-400 = 441 = 21^2$, $a_1 = 4$, $a_2 = 25$. $c_1 = 25$, $c_2 = 4$. Odp. $(a,b,c) = (25, 10, 4)$.

$$\frac{1}{3} = \frac{a_1+a_3+a_5}{a_2+a_4+a_6} = \frac{a_1(1+q^2+q^4)}{a_1 q(1+q^2+q^4)} = \frac{1}{q} \Rightarrow q = 3$$ $$182 = a_1+a_3+a_5 = a_1(1+9+81) = 91a_1 \Rightarrow a_1 = 2$$ Odp. $(2, 6, 18, 54, 162, 486)$.

Skoro $a_3, a_2, a_1$ są odpowiednio pierwszym, drugim i czwartym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego: $a_2 = a_3 + r$ i $a_1 = a_3 + 3r$, gdzie $r > 0$. Zatem $a_3 = a_1 - 3r$ i $a_2 = a_1 - 2r$. Ciąg $(a_1, a_2, a_3)$ jest geometryczny: $(a_1-2r)^2 = a_1(a_1-3r) \Rightarrow a_1 r = 4r^2 \Rightarrow a_1 = 4r$. $a_3 = r$, $a_2 = 2r$. $4r + 2r + r = \frac{21}{4} \Rightarrow r = \frac{3}{4}$, $a_1 = 3$. Odp. $a_1 = 3$.

$$a_{n+1} = \frac{a_n - n^2}{3}$$ $$a_2 = \frac{a_1 - 1^2}{3} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}$$ $$a_3 = \frac{a_2 - 2^2}{3} = \frac{\frac{1}{3}-4}{3} = \frac{-\frac{11}{3}}{3} = -\frac{11}{9}$$ $$a_1 + a_2 + a_3 = 2 + \frac{1}{3} - \frac{11}{9} = \frac{18}{9}+\frac{3}{9}-\frac{11}{9} = \frac{10}{9}$$ Odp. $\frac{10}{9}$.

Dla pewnej dodatniej liczby $r$: $(a, b, c, d) = (a, a+r, a+2r, a+3r)$. Największym wyrazem jest $a+3r$: $$(a+3r)^2 = 2\left(a^2+(a+r)^2+(a+2r)^2\right)$$ $$a^2+6ar+9r^2 = 6a^2+12ar+10r^2 \Rightarrow 5a^2+6ar+r^2 = 0$$ $$(3a+r)^2 = (2a)^2 \Rightarrow 3a+r = 2a \text{ lub } 3a+r = -2a$$ $$r = -a \text{ lub } r = -5a$$ Ponieważ $r>0$, więc $a < 0$. Ciąg $(a+100, -4a, -9a)$ jest geometryczny: $(-4a)^2 = (a+100)(-9a) \Rightarrow 16a = -9a-900 \Rightarrow a = -36$. Ciąg $(64, 144, 324)$ jest geometryczny o ilorazie $\frac{9}{4}$. Odp. $(a,b,c,d) = (-36, 144, 324, 504)$.

Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają: $$\begin{cases} b^2 = ac
4b = 2a+c+1
c-b = 6 \end{cases}$$ $c = b+6$, $a = \frac{3b-7}{2}$. $$b^2 = \frac{(3b-7)(b+6)}{2} \Rightarrow 2b^2 = 3b^2+11b-42 \Rightarrow b^2+11b-42 = 0$$ $$(b-3)(b+14) = 0 \Rightarrow b = 3$$ $a = 1$, $c = 9$. Odp. $(a,b,c) = (1, 3, 9)$.