Zadanie 1.1. [próbna matura CKE, styczeń 2004, zadanie 14. (4 pkt)]
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c$ funkcja:
$$
f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)
$$
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Rozwiązanie
Po przekształceniu otrzymujemy
$$f(x) = 3x^2 - (2a+2b+2c)x + ab+bc+ca$$
Wyznaczamy wyróżnik
$$\Delta = 4(a+b+c)^2 - 12(ab+bc+ca)$$
$$= 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 8ab + 8bc + 8ca - 12ab - 12bc - 12ca$$
$$= 2(a^2 - 2ab + b^2) + 2(b^2 - 2bc + c^2) + 2(c^2 - 2ca + a^2)$$
$$= 2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 + 2(c-a)^2$$
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi nierówność $x^2 \geq 0$, stąd $\Delta \geq 0$, czyli funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Zadanie 1.2
Zadanie 1.2. [matura próbna CKE, listopad 2006, zadanie 11. (3 pkt)]
Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej $n>1$ największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $x^{2}-3 n x+2 n^{2}<0$ o niewiadomej $x$. Wyznacz wzór funkcji $f$.
Rozwiązanie
$x^2 - 3nx + 2n^2 < 0 \Leftrightarrow (x-n)(x-2n) < 0 \Leftrightarrow x \in (n, 2n)$
Największą liczbą całkowitą należącą do przedziału $(n, 2n)$ jest liczba $2n-1$.
Odp. Wzór funkcji $f(n) = 2n-1$, gdzie $n > 1$.
Zadanie 1.3
Zadanie 1.3. [matura, maj 2008, zadanie 3. (5 pkt)]
Liczby $x_{1}=5+\sqrt{23}$ i $x_{2}=5-\sqrt{23}$ sąrozwiązaniami równania $x^{2}-\left(p^{2}+q^{2}\right) x+(p+q)=0$ z niewiadomą $x$. Oblicz wartości $p$ i $q$.
Zadanie 1.4. [matura, maj 2010, zadanie 6. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+m x+2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od $2 m^{2}-13$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności
$$\begin{cases} \Delta > 0 \ x_1^2 + x_2^2 > 2m^2 - 13 \end{cases}$$
gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego, natomiast $x_1, x_2$ są pierwiastkami tego równania.
Zatem
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 - 4$
Zadanie 1.5
Zadanie 1.5. [matura, sierpień 2010, zadanie 4. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}-(m-4) x+m^{2}-4 m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od $2 m^{3}-3$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.6
Zadanie 1.6. [matura, sierpień 2010, zadanie 5. (4 pkt)]
Narysuj wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=x^{2}-4|x|$ i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania $f(x)=m$ w zależności od wartości parametru $m$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.7
Zadanie 1.7. [matura, maj 2011, zadanie 3. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}-4 m x-m^{3}+6 m^{2}+m-2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ takie, że $\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}<8(m+1)$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.8
Zadanie 1.8. [matura, czerwiec 2011, zadanie 2. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $2 x^{2}-(m-2) x-3 m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$, spełniające warunek $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2 x_{1} x_{2} \leq 25$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.9
Zadanie 1.9. [matura, maj 2012, zadanie 1. (4 pkt)]
Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.10
Zadanie 1.10. [matura, maj 2012, zadanie 4. (6 pkt)]
Oblicz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}-(m+2) x+m+4=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$ takie, że $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=4 m^{3}+6 m^{2}-32 m+12$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.11
Zadanie 1.11. [matura, czerwiec 2012, zadanie 4. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $2 x^{2}+(3-2 m) x-m+1=0$ ma dwa różne pierwiastki $x_{1}, x_{2}$ takie, że $\left|x_{1}-x_{2}\right|=3$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.12
Zadanie 1.12. [matura, maj 2013, zadanie 6. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+2(1-m) x+m^{2}-m=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ spełniające warunek $x_{1} x_{2} \leq 6 m \leq x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.13
Zadanie 1.13. [matura, czerwiec 2013, zadanie 2. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $(m+1) x^{2}-3 m x+m+1=0$ ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż 2,5 .
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.14
Zadanie 1.14. [matura, maj 2014, zadanie 2. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja kwadratowa $f(x)=x^{2}-(2 m+2) x+2 m+5$ ma dwa różne pierwiastki $x_{1}, x_{2}$ takie, że suma kwadratów odległości punktów $A=\left(x_{1}, 0\right), B=\left(x_{2}, 0\right)$ od prostej o równaniu $x+y+1=0$ jest równa 6 .
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.15
Zadanie 1.15. [matura, czerwiec 2014, zadanie 6. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+(2 m-5) x+2 m+3=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ takie, że $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2} \geq x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} \geq x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.16
Zadanie 1.16. [matura, maj 2015, zadanie 7. (2 pkt)]
Liczby $(-1)$ i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz $\frac{f(6)}{f(12)}$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.17
Zadanie 1.17. [matura, maj 2015, zadanie 13. (5 pkt)]
Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=(m+1) x^{2}+2(m-2) x-m+4$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$, spełniające warunek $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=x_{1}^{4}-x_{2}^{4}$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.18
Zadanie 1.18. [matura, maj 2015, zadanie 3. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $\left(m^{2}-m\right) x^{2}-x+1=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ takie, że $\frac{1}{x_{1}+x_{2}} \leq \frac{m}{3} \leq \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$.
Rozwiązanie
Zatem
$$\Delta = 1 - 4(m^2 - m) = -4m^2 + 4m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \in \left(\frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\Delta_1 = 32 \cdot 16 \cdot 2$$
$$m_1 = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{-8} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \quad m_2 = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$$
$$\frac{1}{x_1 + x_2} \leq \frac{m}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{m^2 - m} \leq \frac{m}{3} \Leftrightarrow m^3 - m^2 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \in \left\langle 0, \frac{4}{3} \right\rangle$$
$$\frac{m}{3} \leq \frac{1}{x_1 x_2} \Leftrightarrow \frac{m}{3} \leq \frac{1}{m^2 - m} \Leftrightarrow m^3 - m^2 - m \leq 0 \Leftrightarrow m \in \left\langle 0, \frac{4}{3} \right\rangle$$
Stąd
$$\begin{cases} m \neq 0 \text{ i } m \neq 1 m \in \left(\frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right) m \in \left\langle 0, \frac{4}{3} \right\rangle m \leq 3 \end{cases}$$
Odp. $m \in (0, 1) \cup \left(1, \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right)
Zadanie 1.19
Zadanie 1.19. [matura, czerwiec 2015, zadanie 15. (6 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{m^{2}+m-6}{m-5} x^{2}-2(m-2) x+m-5$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz całkowite wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności
$$\begin{cases} \frac{m^2 + m - 6}{m - 5} < 0 m \neq 5 \Delta > 0 x_1 x_2 > 0 \end{cases}$$
wliczbach całkowitych, gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej natomiast $x_1, x_2$ miejscami zerowymi tej funkcji.
Zatem
$$\frac{m^2 + m - 6}{m - 5} < 0 \Leftrightarrow \frac{(m - 2)(m + 3)}{m - 5} < 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5)$$
$$\Delta = 4(m - 2)^2 - 4(m^2 - m - 6) = -20m + 40 > 0 \Leftrightarrow m < 2$$
$$x_1 x_2 > 0 \Leftrightarrow \frac{m^2 + m - 6}{m - 5} > 0 \Leftrightarrow \frac{(m - 2)(m + 3)}{m - 5} > 0 \Leftrightarrow (m - 5)^2 (m + 3)(m - 2) > 0 \Leftrightarrow$$
$$m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5) \cup (5, +\infty)$$
$$\begin{cases} m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5) m < 2 m \in (-\infty, -3) \cup (2, 5) \cup (5, +\infty) \end{cases}$$
Odp. $m \in \{-4, -5, -6, ...\}$.
Zadanie 1.20
Zadanie 1.20. [matura, czerwiec 2015, zadanie 1. (6 pkt)]
Wyznaczwszystkie wartości parametru $m$, dlaktórych równanie $x^{2}+2(m-1) x+m^{2}+m-1=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ takie, że $\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności i równania
$$\begin{cases} \Delta > 0 (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2) - (x_1^3 + x_2^3) = 0 \end{cases}$$
gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego.
Zatem
$$\Delta = 4(m - 1)^2 - 4(m^2 - m - 1) = -12m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}$$
$$(x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2) - (x_1^3 + x_2^3) = 0 \Leftrightarrow x_1^3 + x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 + x_2^3 - x_1^3 - x_2^3 = 0 \Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 0 \Leftrightarrow (m^2 - m - 1)(-2(m - 1)) = 0 \Leftrightarrow m^2 - m - 1 = 0 \text{ lub } m = 1$$
Stąd
$$\begin{cases} m < \frac{2}{3} m^2 - m - 1 = 0 \text{ lub } m = 1 \end{cases}$$
$$m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \text{ lub } m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \text{ lub } m = 1$$
Odp. $m = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \text{ lub } m = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Zadanie 1.21
Zadanie 1.21. [matura, maj 2016, zadanie 12. (6 pkt)]
Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=x^{2}+2(m+1) x+6 m+1$. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_{1}, x_{2}$ tego samego znaku, spełniające warunek $\left|x_{1}-x_{2}\right|<3$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności
$$\begin{cases} \Delta > 0 x_1 x_2 > 0 |x_1 - x_2| < 3 \end{cases}$$
gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem funkcji kwadratowej.
Ponieważ $|x_1 - x_2| = \left|\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \left|\frac{2\sqrt{\Delta}}{2a}\right| = \left|\frac{\sqrt{\Delta}}{a}\right| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$
szy układ nierówności jest równoważny z następującym układem:
$$\begin{cases} \Delta > 0 x_1 x_2 > 0 \Delta - 9 < 0 \end{cases}$$
Zatem
$$\Delta = 4(m + 1)^2 - 4(6m + 1) = 4m^2 - 16m = 4m(m - 4) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$$
$$x_1 x_2 = 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > -\frac{1}{6}$$
$$\Delta - 9 = 4m^2 - 16m - 9 < 0 \Leftrightarrow m \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{2}\right)$$
$$\Delta_1 = 16^2 + 16 \cdot 9 = 400, \quad m_1 = \frac{16 + 20}{8} = \frac{9}{2}, \quad m_2 = \frac{16 - 20}{8} = -\frac{1}{2}$$
Zadanie 1.22
Zadanie 1.22. [matura, czerwiec 2016, zadanie 12. (4 pkt)]
Liczba $m$ jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania $k^{2} x^{2}+(k-1) x+1=0$, gdzie $k \neq 0$. Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem $f(x)=2^{m}$.
Rozwiązanie
Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{cases} k \neq 0 \Delta > 0 \end{cases}$ gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego.
Zatem
$\Delta = (k-1)^2 - 4k^2 = -3k^2 - 2k + 1$,
$\begin{cases} k \neq 0 -3k^2 - 2k + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow k \in (-1, 0) \cup \left(0, \frac{1}{3}\right)$.
Dalej
$m = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-k+1}{1} = -k+1$,
$f(k) = 2^{-k+1} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k$.
Funkcja malejąca.
$f(-1) = 4$, $f(0) = 2$, $f\left(\frac{1}{3}\right) = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}$.
[WYKRES]
Odp. $\left(\sqrt[3]{4}, 2\right) \cup (2, 4).$
Zadanie 1.23
Zadanie 1.23. [matura, czerwiec 2016, zadanie 3. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+3 x+\frac{2-m}{3-m}=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}, x_{2}$ spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-9$.
Rozwiązanie
Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania układu nierówności $\begin{cases} m \neq 3 \Delta > 0 x_1^3 + x_2^3 > -9 \end{cases}$, gdzie $\Delta$ jest wyróżnikiem równania kwadratowego.
Zatem
$\Delta = 9 - 4 \frac{2-m}{3-m} = \frac{27 - 9m - 8 + 4m}{3-m} = \frac{-5m + 19}{3-m} > 0 \Leftrightarrow (3-m)(-5m+19) > 0 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow m \in \left(-\infty, 3\right) \cup \left(\frac{19}{5}, +\infty\right)$.
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1+x_2)((x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2) =$
Zadanie 1.24
Zadanie 1.24. [matura, maj 2017, zadanie 12. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $4 x^{2}-6 m x+(2 m+3)(m-3)=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$, $x_{2}$, przy czym $x_{1}
Zadanie 1.25. [matura, czerwiec 2017, zadanie 13. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}-3 m x+2 m^{2}+1=0$ ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału $(-\infty, 3)$.
Rozwiązanie
f(3)=9-9m+2m^2+1=2m^2-9m+10=(2m-5)(m-2)
$$
\begin{cases}
m^2-4>0
\frac{3m}{2}<3
(2m-5)(m-2)>0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)
m<2
m \in (-\infty, 2) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)
\end{cases}
$$
Odp. $m \in (-\infty, -2)$.
II sposób
Równanie ma dwa rozwiązania mniejsze od 3 wtedy, gdy:
$$
\begin{cases}
\Delta > 0
x_1 < 3
x_2 < 3
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\Delta > 0
x_1-3 < 0
x_2-3 < 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\Delta > 0
(x_1-3)(x_2-3)>0
x_1-3+x_2-3 < 0
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
m^2-4>0
2m^2-9m+10>0
3m-6<0
\end{cases}
$$
$(x_1-3)(x_2-3)=x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=2m^2-9m+10$.
$x_1+x_2-6=3m-6$.
Zadanie 1.26
Zadanie 1.26. [matura, maj 2018, zadanie 12. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^{2}+(m+1) x-m^{2}+1=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$, spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-7 x_{1} x_{2}$.
Zadanie 1.29. [matura, czerwiec 2019, zadanie 12. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$$
4 x^{2}+(2-4 m) x+m^{2}-m-2=0
$$
ma dwa różne dodatnie rozwiązania $x_{1}, x_{2}$ spełniające nierówność $x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq \frac{17}{4}$.
Rozwiązanie
$$\Delta = (2-4m)^2 - 16(m^2-m-2) = 4 - 16m + 16m^2 - 16m^2 + 16m + 32 = 36.$$
Zatem równania ma dwa różne rozwiązania dla $m \in \mathbb{R}$.
$$x_1 = \frac{4m-2-6}{8} = \frac{m-2}{2}, x_2 = \frac{4m-2+6}{8} = \frac{m+1}{2}.$$
Dodatnie są wtedy, gdy $m-2 > 0$ i $m+1 > 0$, czyli dla $m > 2$.
$$x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{m-2}{2}\right)^2 + \left(\frac{m+1}{2}\right)^2 = \frac{m^2-4m+4+m^2+2m+1}{4} = \frac{2m^2-2m+5}{4}.$$
$$x_1^2 + x_2^2 \leq \frac{17}{4} \Leftrightarrow 2m^2-2m+5 \leq 17 \Leftrightarrow 2m^2-2m-12 \leq 0 \Leftrightarrow m^2-m-6 \leq 0 \Leftrightarrow (m-3)(m+2) \leq 0 \Leftrightarrow m \in \langle -2, 3 \rangle.$$
Odp. $m \in (2, 3\rangle.$
Zadanie 1.30
Zadanie 1.30. [matura, czerwiec 2020, zadanie 11. (4 pkt)]
Dane jest równanie kwadratowe $x^{2}-(3 m+2) x+2 m^{2}+7 m-15=0 \mathrm{z}$ niewiadomą $x$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których różne rozwiązania $x_{1}$ i $x_{2}$ tego równania istnieją i spełniają warunek
$$
2 x_{1}^{2}+5 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}=2
$$
Rozwiązanie
Równanie ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta > 0$.
$$\Delta = (3m+2)^2 - 4(2m^2+7m-15) = 9m^2+12m+4 - 8m^2 - 28m + 60 =$$
$$= m^2 - 16m + 64 = (m-8)^2 > 0 \Leftrightarrow m \neq 8.$$
$2x_1^2 + 5x_1x_2 + 2x_2^2 = 2 \Leftrightarrow 2(x_1+x_2)^2 + x_1x_2 = 2 \Leftrightarrow$
$2(3m+2)^2 + (2m^2+7m-15) = 2 \Leftrightarrow 20m^2+31m-9 = 0 \Leftrightarrow$
$(5m+9)(4m-1)=0 \Leftrightarrow m = -\frac{9}{5} \text{ lub } m = \frac{1}{4}.$
Odp. $m \in \left\{-\frac{9}{5}, \frac{1}{4}\right\}.$
Zadanie 1.31
Zadanie 1.31. [matura, lipiec 2020, zadanie 14. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których nierówność
$$
\left(m^{2}+4 m-5\right) \cdot x^{2}+2 x>2 m x-2
$$
jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Rozwiązanie
Poniższe nierówności są równoważne
$(m^2+4m-5) \cdot x^2 + 2x > 2mx - 2$
$(m^2+4m-5)x^2 - 2(m-1)x + 2 > 0$
Dla $m=1$ otrzymujemy nierówność $2 > 0$, która jest oczywiście prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Dla $m=-5$ otrzymujemy nierówność $12x+2 > 0$, która nie jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Gdy $m \neq -5$ i $m \neq 1$ mamy nierówność kwadratową, która jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy
$$\begin{cases}
a > 0 \Delta < 0 \end{cases}$$
$$\Delta = 4(m-1)^2 - 8(m+5)(m-1) = 4(m-1)(m-1-2(m+5)) = 4(m-1)(-m-11).$$
$$\begin{cases}
(m+5)(m-1) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)
4(m-1)(-m-11) < 0 \Leftrightarrow (m-1)(m+11) > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -11) \cup (1, +\infty)
\end{cases}$$
$$\Leftrightarrow m \in (-\infty, -11) \cup (1, +\infty).$$
Odp. $m \in (-\infty, -11) \cup (1, +\infty).$
Zadanie 1.32
Zadanie 1.32. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 14. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $x^{2}-2 a x+a^{3}-2 a=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Rozwiązanie
Równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy
$$\begin{cases}
\Delta > 0 x_1+x_2 > 0 x_1x_2 > 0 \end{cases}$$
$$\Delta = (2a)^2 - 4(a^3-2a) = 4a^2 - 4a^3 + 8a = 4a(-a^2+a+2).$$
$x_1+x_2 = 2a$
$x_1x_2 = a^3-2a = a(a^2-2).$
$$\begin{cases}
\Delta > 0 x_1+x_2 > 0 x_1x_2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
4a(-a^2+a+2) > 0 2a > 0 a(a^2-2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
-a^2+a+2 > 0 a > 0 a^2-2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
a^2-a-2 < 0 a > 0 a^2 > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
(a-2)(a+1) < 0 \Leftrightarrow a \in (-1, 2) a > 0 a > \sqrt{2} \text{ lub } a < -\sqrt{2} \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow a \in (\sqrt{2}, 2).$$
Odp. $a \in (\sqrt{2}, 2).$
Zadanie 1.33
Zadanie 1.33. [matura, maj 2021, zadanie 11. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian kwadratowy
$$
4 x^{2}-2(m+1) x+m
$$
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunki:
$x_{1} \neq 0, x_{2} \neq 0 \quad$ oraz $x_{1}+x_{2} \leq \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$
Rozwiązanie
Trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta > 0$.
$$\Delta = 4(m+1)^2 - 16m = 4(m-1)^2.$$
Zatem trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki dla $m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Zero jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego dla $m=0$.
Stąd $m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}.$
Zadanie 1.34
Zadanie 1.34. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 6. (4 pkt)]
Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem
$f(x)=p x^{2}+(p-1) x+1-2 p$ dla każdego $x \in \boldsymbol{R}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 .
Rozwiązanie
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 1.35
Zadanie 1.35. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 9. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$$
x^{2}-(m-4) x+m^{2}-7 m+12=0
$$
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ oraz $x_{2}$, spełniające warunek
