Rozdział 10. Geometria analityczna

Zadanie 10.1. [matura CKE dla chętnych, styczeń 2003, zadanie 17. (5 pkt)] W układzie współrzędnych są dane punkty: $A(-9,-2)$ oraz $B(4,2)$. Wyznacz współrzędne punktu $C$ leżącego na osi $O Y$, tak że kąt $A C B$ jest kątem prostym.

Zadanie 10.2. [matura próbna CKE, styczeń 2004, zadanie 14. (3 pkt)]
Wykaż, że jeśli $a \neq b$, to równanie:

$$ x^{2}+y^{2}+a x+b y+\frac{a \cdot b}{2}=0 $$

jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.

Zadanie 10.3. [matura, maj 2005, zadanie 18. (8 pkt)]
Pary liczb $(x, y)$ spełniające układ równań:

$$ \left\{\begin{array}{l} -4 x^{2}+y^{2}+2 y+1=0
-x^{2}+y+4=0 \end{array}\right. $$

są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego $A B C D$.
a) Wyznacz współrzędne punktów: $A, B, C, D$.
b) Wykaż, że czworokąt $A B C D$ jest trapezem równoramiennym.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie $A B C D$.

Zadanie 10.4. [matura, styczeń 2006, zadanie 18. (8 pkt)]
Punkty $A=(7,8)$ i $B=(-1,2)$ są wierzchołkami trójkąta $A B C$, w którym $|\varangle B C A|=90^{\circ}$.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka $C$, wiedząc, że leży on na osi $O X$.
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ w jednokładności o środku w punkcie $P=(1,0)$ i skali $k=-2$.

Zadanie 10.5. [matura próbna CKE, listopad 2006, zadanie 6. (4 pkt)]
Podstawa $A B$ trapezu $A B C D$ jest zawarta w osi $O x$, więrzchołek $D$ jest punktem przecięcia paraboli o równaniu $y=-\frac{1}{3} x^{2}+x+6$ z osią $O y$. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 10.6. [matura, maj 2007, zadanie 5 . (7 pkt)]
Wierzchołki trójkąta równobocznego $A B C$ są punktami paraboli $y=-x^{2}+6 x$. Punkt $C$ jest jej wierzchołkiem, a bok $A B$ jest równoległy do osi $\mathrm{O} x$. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Zadanie 10.7. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 4. (5 pkt)]
Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu $y=2 x-3$ w punkcie $A=(2,1)$ i styczny do prostej o równaniu $y=\frac{1}{2} x+9$ w punkcie $B=(-4,7)$. Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie 10.8. [matura, maj 2008, zadanie 7. (4 pkt)]
Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu $y=\frac{1}{4} x^{2}+1$ jest równoodległy od osi $O x$ i od punktu $F=(0,2)$.

Zadanie 10.9. [matura, maj 2008, zadanie 8. (4 pkt)]
Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu $(x-16)^{2}+y^{2}=4$ jest okrąg o równaniu $(x-6)^{2}+(y-4)^{2}=16$, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Zadanie 10.10. [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 3. (5 pkt)]
Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu $y=x^{2}$, a drugi na prostej o równaniu $y=2 x-6$. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od $\sqrt{5}$. Sporządź odpowiedni rysunek.

Zadanie 10.11. [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 9. (7 pkt)]
Środek okręgu przechodzącego przez punkty $A=(1,4)$ i $B=(-6,3)$ leży na osi $O x$.
a) Wyznacz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $A B$ i oddalonej od początku układu współrzędnych o $\sqrt{2}$.

Zadanie 10.12. [matura, maj 2009, zadanie 9. (5 pkt)]
W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=4$ oraz zaznacz punkt $A=(0,-1)$. Prosta o równaniu $x=0$ jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt $A$. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt $A$.

Zadanie 10.13. [matura, maj 2010, zadanie 7. (6 pkt)]
Punkt $A=(-2,5)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego $A B C$, w którym $|A C|=|B C|$. Pole tego trójkąta jest równe 15 . Bok $B C$ jest zawarty w prostej o równaniu $y=x+1$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Zadanie 10.14. [matura, sierpień 2010, zadanie 10. (6 pkt)]
Punkt $A=(2,-3)$ jest wierzchołkiem rombu $A B C D$ o polu równym 300. Punkt $S=(3,4)$ jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Zadanie 10.15. [matura, maj 2011, zadanie 7. (4 pkt)]
Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^{2}+y^{2}+2 x-2 y-3=0$ poprowadzonymi przez punkt $A=(2,0)$.

Zadanie 10.16. [matura, czerwiec 2011, zadanie 8. (5 pkt)]
Punkty $A=(-5,5), C=(8,6)$ są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego $A B C D$, w którym $A B \| C D$. Prosta o równaniu $y=2 x$ jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz "współrzędne wierzchołków $B$ i $D$ oraz pole tego trapezu.

Zadanie 10.17. [matura, czerwiec 2012, zadanie 7. (4 pkt)]
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=(0,2)$ i $B=(2,0)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=(1, a)$, gdzie $a>1$. Wyznacz równanie prostej $l$.

Zadanie 10.18. [matura, maj 2013, zadanie 7. (4 pkt)]
Prosta o równaniu $3 x-4 y-36=0$ przecina okrąg o środku $S=(3,12)$ w punktach $A$ i $B$. Długość odcinka $A B$ jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 10.19. [matura, czerwiec 2013, zadanie 7. (4 pkt)]
Punkty $A=(2,0)$ i $B=(4,2)$ leżą na okręgu o równaniu $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=10$. Wyznacz na tym okręgu taki punkt $C$, aby trójkąt $A B C$ był trójkątem równoramiennym o podstawie $A B$.

Zadanie 10.20. [matura, maj 2014, zadanie 8. (4 pkt)]
Punkty $A, B, C, D, E, F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym $A=(0,2 \sqrt{3}), B=(2,0)$, a $C$ leży na osi $O x$. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek $E$.

Zadanie 10.21. [matura, czerwiec 2014, zadanie 7. (6 pkt)]
Odcinek $A B$ o długości 4 jest zawarty w prostej o równaniu $y=\frac{3}{4} x-\frac{3}{2}$. Symetralna odcinka $A B$ przecina oś $O y$ w punkcie $P=(0,6)$. Oblicz współrzędne końców odcinka $A B$.

Zadanie 10.22. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 17. (6 pkt)]
Dany jest okrąg $o_{0}$ o równaniu $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=1$. W pierwszej "ćwiartce" układu współrzędnych istnieją dwa okręgi $o_{1}, o_{2}$ styczne zewnętrznie do okręgu $o_{0}$ jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów $o_{1}$ oraz $o_{2}$.

Zadanie 10.23. [matura, maj 2015, zadanie 9. (5 pkt)]
Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu $x^{2}+y^{2}+4 x-6 y-3=0$ i zarazem prostopadłych do prostej $x+2 y-6=0$.

Zadanie 10.24. [matura, czerwiec 2015, zadanie 7. (2 pkt)]
Prosta o równaniu $y=\frac{3}{4} x-\frac{61}{14}$ jest styczna od okręgu o środku $S=(1,-4)$. Wyznacz promień tego okręgu.

Zadanie 10.25. [matura, czerwiec 2015, zadanie 8. (6 pkt)]
Punkt $M=(5,6)$ jest środkiem ramienia $B C$ trójkąta równoramiennego $A B C$, w którym $|A C|=|B C|$. Podstawa $A B$ tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu $y=\frac{1}{3} x+1$ oraz $A=(-3,0)$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta.

Zadanie 10.26. [matura, maj 2016, zadanie 10. (4 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których wykresy funkcji $f$ i $g$, określonych wzorami $f(x)=x-2$ oraz $g(x)=5-a x$, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Zadanie 10.27. [matura, maj 2016, zadanie 13. (5 pkt)]
Punkty $A=(30,32)$ i $B=(0,8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $A B C D$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x-y+2=0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $A C$. Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

Zadanie 10.28. [matura, czerwiec 2016, zadanie 16. (5 pkt)]

Punkty $A=(-7,-2)$ i $B=(4,-7)$ są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego $A B C$, a wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2 x+19 y+52=0$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Zadanie 10.29. [matura, czerwiec 2016, zadanie 6. (4 pkt)]
Wyznacz równania stycznych do okręgu $x^{2}+y^{2}+12 x+4 y+36=0$, przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Zadanie 10.30. [matura, maj 2017, zadanie 13. (5 pkt)]
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A=(-5,3)$ i $B=(0,6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x-3 y+1=0$.

Zadanie 10.31. [matura, czerwiec 2017, zadanie 12. (5 pkt)]
Prosta $l$, na której leży punkt $P=(8,2)$, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36 . Wyznacz równanie prostej $l$.

Zadanie 10.32. [matura, maj 2018, zadanie 14. (6 pkt)]
Punkt $A=(7,-1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $A B C$, w którym $|A C|=|B C|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $A B C$ ma równanie $x^{2}+y^{2}=10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Zadanie 10.33. [matura, czerwiec 2018, zadanie 13. (5 pkt)]
Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $A B C$ leżą na osi $O y$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $A B, B C$ i $C A$ w punktach - odpowiednio $P=(0,10), Q=(8,6)$ i $R=(9,13)$. Oblicz współrzędne wierzchołków $A, B$ i $C$ tego trójkąta.

Zadanie 10.34. [matura, maj 2019, zadanie 11. (6 pkt)]
Dane są okręgi o równaniach $x^{2}+y^{2}-12 x-8 y+43=0$ i $x^{2}+y^{2}-2 a x+4 y+a^{2}-77=0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 10.35. [matura, czerwiec 2019, zadanie 13. (6 pkt)]
Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $A B C D$ o polu 90 . Przekątna $B D$ zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2 x-y-5=0$. Wyznacz długość boku tego rombu.

Zadanie 10.36. [matura, czerwiec 2020, zadanie 12. (5 pkt)]
Prosta o równaniu $x+y-10=0$ przecina okrąg o równaniu $x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+8=0$ w punktach $K \mathrm{i} L$. Punkt $S$ jest środkiem cięciwy $K L$. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku $S$ i skali $k=-3$.

Zadanie 10.37. [matura, lipiec 2020, zadanie 12. (6 pkt)]
Punkt $A=(-2,6)$ jest wierzchołkiem rombu $A B C D$ o polu równym 82,5 . Przekątna $B D$ tego rombu zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2 x-y-5=0$. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Zadanie 10.38. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 13. (5 pkt)]
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y=x+b$, $y=x+2 b, y=b, y=2$, gdzie liczba rzeczywista $b$ spełnia warunki: $b \neq 2 \mathrm{i} b \neq 0$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$, dla których pole tego równoległoboku jest równe 1 .

Zadanie 10.39. [matura, maj 2021, zadanie 10. (4 pkt)]
Prosta przechodząca przez punkty $A=(8,-6)$ i $B=(5,15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O=(0,0)$. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $A B$.

Zadanie 10.40. [matura, maj 2021, zadanie 14. (6 pkt)] Dane są parabola o równaniu $y=x^{2}$ oraz punkty $A=(0,2)$ i $B=(1,3)$ (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $A B C$, których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $C$.
a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $A B C$ jako funkcję zmiennej $m$.
b) Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których trójkąt $A B C$ jest ostrokątny.

Zadanie 10.41. [matura, czerwiec 2021, zadanie 9. (4 pkt)]
Dane są prosta $k$ o równaniu $x-2 y=0$ i prosta $l$ o równaniu $2 x+y-1=0$. Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y=x+4$. Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Zadanie 10.42. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 9. (6 pkt)]
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $A=(9,12)$ jest wierzchołkiem trójkąta $A B C$. Prosta $k$ o równaniu $y=\frac{1}{2} x$ zawiera dwusieczną kąta $A B C$ tego trójkąta. Okrąg $O$ o równaniu $(x-8)^{2}+(y-4)^{2}=16$ jest wpisany w ten trójkąt.
Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $O$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 10.43. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 22. (5 pkt)]
Proste o równaniach $2 x+y-4 m-4=0$ i $x-3 y+5 m+5=0$ przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych $\left(x_{P}, y_{P}\right)$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których współrzędne punktu $P$ spełniają warunki:

$$ x_{P}>0, y_{P}>0, y_{P} \geq x_{P}^{2} \text { oraz } y_{P}<-\frac{2}{x_{P}}+8 . $$

Zadanie 10.44. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 23. (4 pkt)]
Trapez $A B C D$ jest wpisany w okrąg o równaniu

$$ x^{2}+y^{2}-38 x+22 y-96=0 $$

Wierzchołek $A$ trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek $A B$ jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna $A C$ trapezu $A B C D$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=x$.
Oblicz sinus kąta $A B C$.

Zadanie 10.45. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 24. (4 pkt)]
Czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem takim, że

$$ \overrightarrow{B D}=[-21,-7] \text { i } \overrightarrow{D C}=[15,8] \text {. } $$

Oblicz pole tego równoległoboku.

Zadanie 10.46. [matura, czerwiec 2022, zadanie 14. (6 pkt)]
Dane są okrąg $o_{1}$ o równaniu $(x-6)^{2}+(y-4)^{2}=98$ oraz okrąg $o_{2}$ o promieniu $2 \sqrt{5}$. Środki okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y=-3 x-6$, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$. Wyznacz równanie okręgu $o_{2}$.

Zadanie 10.47. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 12. (6 pkt)]

\begin{itemize} \item Prosta $k$ o równaniu $x+y-9=0$ przecina parabolę o równaniu $y=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{3}{2} x+\frac{1}{4}$ w punktach $A$ oraz $B$. Pierwsza współrzędna punktu $A$ jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu $B$ jest liczbą ujemną. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i styczna do danej paraboli w punkcie $C$.
Oblicz odległość punktu $C$ od prostej $k$ oraz pole trójkąt $A B C$. Zapisz obliczenia. \end{itemize}

Zadanie 10.49. [matura, maj 2023, zadanie 13. (6 pkt)]
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4 x^{2}-7 x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $A B$ jest średnicą okręgu $O$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $B A C$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że tg $\alpha=\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu C. Zapisz obliczenia.

Zadanie 10.50. [matura, czerwiec 2023, zadanie 9. (4 pkt)]
W okrąg o równaniu $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$ wpisano trójkąt $A B C$. Bok $A B$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4 x-3 y+2=0$. Wysokość $C D$ tego trójkąta dzieli bok $A B$ tak, że $|A D|=4 \cdot|D B|$. Oblicz pole trójkąta $A B C$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 10.51. [matura, czerwiec 2023, zadanie 15. (7 pkt)]
Okrąg $o_{1}$ o środku w punkcie $S_{1}$ jest określony równaniem $(x-6)^{2}+(y+1)^{2}=16$. Okrąg $o_{2}$ ma środek w punkcie $S_{2}$ takim, że $\overrightarrow{S_{1} S_{2}}=[-4,4]$. Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura $F$ składa się z dwóch okręgów: $o_{1}$ oraz $o_{2}$. Punkty $M$ i $N$ są punktami przecięcia figury $F$ z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym. Wyznacz punkt $K$, leżący na jednej z osi symetrii figury $F$, taki, że pole trójkąta $M N K$ jest równe 40 .