Dimon Academy
30 zadań z matur CKE (poziom rozszerzony).
Zadanie 2.1. [matura próbna CKE, listopad 2006, zadanie 2. (5 pkt)] Wyznacz wszystkie wartości $k \in \boldsymbol{R}$, dla których pierwiastki wielomianu $W(x)=\left(x^{2}-8 x+12\right) \cdot(x-k)$ są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.2. [matura, maj 2007, zadanie 9. (3 pkt)]
Przedstaw wielomian $W(x)=x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-1$ w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.3. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 3. (4 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania $x^{3}+m^{3} x^{2}-m^{2} x-1=0$ jest liczba 1 .
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.4. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 6. (3 pkt)]
Wykaż, że wielomian $W(x)=x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-6 x+9$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.5 [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 7. (6 pkt)]
Dane jest równanie $(x+3) \cdot\left[x^{2}+(p+4) x+(p+1)^{2}\right]=0 \mathrm{z}$ niewiadomą $x$.
a) Rozwiąż to równanie dla $p=1$.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których równanie to ma tylko jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.6. [matura, maj 2009, zadanie 2. (4 pkt)]
Przy dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-1)$ otrzymujemy iloraz $Q(x)=8 x^{2}+4 x-14$ oraz resztę $R(x)=-5$. Oblicz pierwiastki wielomianu $W(x)$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.7. [matura, maj 2010, zadanie 4. (4 pkt)]
Wyznacz wartości $a$ i $b$ współczynników wielomianu $W(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+1$ wiedząc, że $W(2)=7$ oraz, że reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa 10 .
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.8. [matura, czerwiec 2010, zadanie 6. (3 pkt)]
Wykaż, że nie istnieje wielomian $W(x)$ stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: $W(2)=3$ i $W(-2)=2$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.9. [matura, maj 2012, zadanie 2. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $x^{4}+x^{2} \geq 2 x$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.10. [matura, czerwiec 2012, zadanie 2. (4 pkt)]
Wielomian $W(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}-24 x+9$ jest kwadratem wielomianu $P(x)=x^{2}+c x+d$. Oblicz $a$ oraz $b$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.11. [matura, maj 2013, zadanie 8. (4 pkt)]
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=4 x^{3}-5 x^{2}-23 x+m$ przez dwumian $x+1$ jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.12. [matura, czerwiec 2013, zadanie 12. (4 pkt)]
Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby $1,3,5$. Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy $\frac{1}{2}$. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 24.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.13. [matura, maj 2014, zadanie 10. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru $m$, dla których równanie $\left(x^{3}+2 x^{2}+2 x+1\right)\left(x^{2}-(2 m+1) x+m^{2}+m\right)=0$ ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.14. [matura, czerwiec 2014, zadanie $9 .(5 \mathrm{pkt})]$
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)=6 x^{3}+(m+4) x^{2}-2 x-1$ przez dwumian $x-m$ jest równa 8. Oblicz wartość $m$ oraz pierwiastki tego wielomianu.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.15. [matura, maj 2015, zadanie 15. (6 pkt)]
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ jest równa 0 . Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3 . Oblicz współczynniki $a, b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.16. [matura, maj 2015, zadanie 2. (5 pkt)]
Dany jest wielomian $W(x)=x^{3}-3 m x^{2}+\left(3 m^{2}-1\right) x-9 m^{2}+20 m+4$. Wykres tego wielomianu, po przesunięciu o wektor $\vec{u}=[-3,0]$, przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $W$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.17. [matura, czerwiec 2015, zadanie 10. (4 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których liczba 1 jest jedynym całkowitym pierwiastkiem wielomianu $W(\dot{x})=m x^{3}+x^{2}+\left(m^{2}-9\right) x+m$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.18. [matura, maj 2017, zadanie 2 . (5 pkt)]
Dany jest wielomian $W(x)=2 x^{3}+a x^{2}-13 x+b$. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x+2)$ jest równa 20 . Oblicz współczynniki $a$ i $b$ oraz pozostałe pierwiastki wielomianu $W(x)$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.19. [matura, maj 2018, zadanie 8. (4 pkt)]
Liczba $\frac{2}{5}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=5 x^{3}-7 x^{2}-3 x+p$. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność $W(x)>0$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.20. [matura, czerwiec 2018, zadanie 8. (3 pkt)]
Wykaż, że równanie $x^{8}+x^{2}=2\left(x^{4}+x-1\right)$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste $x=1$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.21. [matura, czerwiec 2018, zadanie 10 . (6 pkt)]
Wielomian $W(x)=x^{3}+c x^{2}-10 x+d$ jest podzielny przez dwumian $P(x)=x+2$.
Przy dzieleniu wielomianu $W(x)$ przez dwumian $Q(x)=x-1$ otrzymujemy resztę ( -30 ). Oblicz pierwiastki wielomianu $W(x)$ i rozwiąż nierówność $W(x) \geq 0$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.22. [maturá, maj 2019, zadanie 13. (6 pkt)]
Wielomian określony wzorem $W(x)=2 x^{3}+\left(m^{3}+2\right) x^{2}-11 x-2(2 m+1)$ jest podzielny przez dwumian $(x-2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x+1)$ daje resztę 6 . Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \leq 0$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.23. [matura, maj 2019, zadanie 6. (5 pkt)]
Wielomian określony wzorem $W(x)=2 x^{3}+\left(m^{3}+2\right) x^{2}-11 x-2(2 m+1)$ jest podzielny przez dwumian $(x-2)$ oraz przy dzieleniu przez dwumian $(x+1)$ daje resztę 6. Oblicz $m$ oraz pierwiastki wielomianu $W(x)$ dla wyznaczonej wartości $m$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.24. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 10. (4 pkt)]
Reszty z dzielenia wielomianu $W(x)=x^{4}+b x^{3}+c x^{2}$ przez dwumiany $(x-2)$ i $(x-3)$ są odpowiednio równe (-8) oraz (-18). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian - $(x-4)$.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.25. [matura, czerwiec 2021, zadanie 12. (5 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$$ (x-3)\left(x^{2}+(m-1) x-6 m^{2}+2 m\right)=0 $$
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Rozwiązanie będzie dostępne wkrótce.
Zadanie 2.26. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 4. (5 pkt)]
Dane jest równanie
$(x-6)\left[(m-2) x^{2}-4(m+3) x+m+1\right]=0$
z niewiadomą $x$ i parametrem $m \in \boldsymbol{R}$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których to równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku. Zapisz obliczenia.
Równanie $(x-6)[(m-2)x^2 - 4(m+3)x + m+1] = 0$ jest równoważne alternatywie równań $x-6=0$ (1) lub $(m-2)x^2 - 4(m+3)x + m+1 = 0$ (2).
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$ rozwiązaniem równania (1) jest liczba 6.
Zatem równanie (2) powinno mieć dwa rozwiązania dodatnie różne o 6.
Rozwiązaniem równania (2) jest liczba 6 wtedy, gdy $(m-2)36 - 4(m+3)6 + m+1 = 0$, czyli dla $m=11$.
Równanie (2) ma dwa rozwiązania dodatnie wtedy, gdy
$$\begin{cases}
m \neq 2
\Delta > 0
\frac{m+3}{m-2} > 0
\frac{m+1}{m-2} > 0
\end{cases}$$
$\Delta = 16(m+3)^2 - 4(m-2)(m+1) = 4(3m^2 + 25m + 38) = 4(3m+19)(m+2)$
Zatem
$$\begin{cases}
m \neq 2
m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (-2, +\infty)
m \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)
m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)
\end{cases}$$
Odp. $m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (2,11) \cup (11, +\infty)$.
Zadanie 2.27. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 3. (3 pkt)] Na diagramie (rysunek obok) przedstawiono fragment wykresu wielomianu $W$ określonego wzorem
$$ W(x)=4 x^{3}-19 x^{2}-12 x+18 $$
dla każdego $x \in \boldsymbol{R}$.
Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu $W$.
$W(\frac{3}{4}) = 0$ $W(x) = (4x-3)(x^2-4x-6)$ $\Delta = 16 + 24 = 40$, $x_1 = \frac{4-2\sqrt{10}}{2} = 2-\sqrt{10}$, $x_2 = 2+\sqrt{10}$ Odp. Pierwiastkami wielomianu są liczby: $2-\sqrt{10}$, $2+\sqrt{10}$, $\frac{3}{4}$.
Zadanie 2.28. [informator maturalny CKE 2021, zadanie $5 .(3 \mathrm{pkt})]$ Wielomian $W$ jest określony wzorem
$$ W(x)=(x-1)\left(x^{2}-m x+m-1\right) \text { dla każdego } x \in \boldsymbol{R} $$
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których wielomian $W$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
$W(x) = \underbrace{(x-1)}_{P(x)} \underbrace{(x^2-mx+m-1)}_{Q(x)}$ Zauważmy, że $P(1)=0$ i $Q(1)=0$. Zatem wielomian $Q$ musi mieć tylko jeden pierwiastek, tak jest gdy $\Delta = 0$. $\Delta = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2$ Odp. $m=2$.
Zadanie 2.29. [matura, czerwiec 2022, zadanie 13. (6 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$$ (x-4)\left[x^{2}+(m-3) x+m^{2}-m-6\right]=0 $$
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1}, x_{3}$ oraz $x_{3}$, spełniające warunek
$$ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}>x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-5 m-51 $$
$x_1=4$
Wyznaczymy wartości parametru $m$, dla których rozwiązaniem równania kwadratowego $x^2+(m-3)x+m^2-m-6=0$ (1)
jest liczba 4.
$16+4m-12+m^2-m-6=0$
$m^2+3m-2=0$, stąd $m = \frac{-3-\sqrt{17}}{2}$ lub $m = \frac{-3+\sqrt{17}}{2}$.
Obliczymy teraz $\Delta$ oraz $x_1 \cdot x_2$, $x_1^2+x_2^2$ i $x_1^3+x_2^3$.
$\Delta = (m-3)^2 - 4(m^2-m-6) = -3m^2 - 2m + 33 = -(3m-11)(m-3)$
$x_1 \cdot x_2 = 4(m^2-m-6) = 4m^2-4m-24$
$x_1^2+x_2^2 = 16+(x_2+x_3)^2-2x_2x_3 = 16+(m-3)^2-2(m^2-m-6) = -m^2-4m+37$
Równanie (1) ma dwa różne rozwiązania różne od $\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$ i $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ wtedy, gdy
$$\begin{cases}
\Delta > 0
m \neq \frac{-3-\sqrt{17}}{2}
m \neq -3
m \neq \frac{-3+\sqrt{17}}{2}
\end{cases}
\Leftrightarrow
m \in (\frac{11-3\sqrt{17}}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3-\sqrt{17}}{2}, \frac{-3+\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, \frac{11+3\sqrt{17}}{3})$$
Nierówność $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 > x_1^2+x_2^2+x_3^2-5m-51$ jest równoważna
$4m^2-4m-24 > -m^2-4m+37-5m-51$
$5m^2+5m-10>0$
$m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$
Stąd
$$\begin{cases}
m \in (\frac{11-3\sqrt{17}}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3-\sqrt{17}}{2}, \frac{-3+\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, \frac{11+3\sqrt{17}}{3})
m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)
\end{cases}$$
Odp. $m \in (\frac{11-3\sqrt{17}}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}) \cup (1,3)$.
Zadanie 2.30. [matura, maj 2023, zadanie $5 .(2 \mathrm{pkt})$ ]
Wielomian $W(x)=7 x^{3}-9 x^{2}+9 x-2$ ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Oblicz ten pierwiastek.
W(x) = 7x^3 - 9x^2 + 9x - 2 = 7x^3 - 2x^2 - 7x^2 + 2x + 7x - 2 = $= x^2(7x - 2) - x(7x - 2) + (7x - 2) = (7x - 2)(x^2 - x + 1) = (7x - 2)\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right)$ Ponieważ $\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\right) > 0$, więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu W(x) jest liczba $\frac{2}{7}$. Odp. $\frac{2}{7}$.