Rozdział 13. Potęgi i logarytmy

Zadanie 13.1. [matura, maj 2009, zadanie 5. (3 pkt)] Wykaż, że jeżeli $A=3^{4 \sqrt{2}+2}$ i $B=3^{2 \sqrt{2}+3}$, to $B=9 \sqrt{A}$.

Zadanie 13.2. [matura, maj 2010, zadanie 8. (5 pkt)] Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$.

Przeprowadzono prostą równoległą do osi $O x$, która przecięła wykres tej funkcji w punktach $A$ i $B$. Niech $C=(3,-1)$. Wykaż, że pole trójkąta $A B C$ jest większe lub równe 2.

Zadanie 13.3. [matura, sierpień 2010 , zadanie 6. (4 pkt)]
Wykaż, że nierówność $\sqrt[4]{\frac{a^{4}+b^{4}}{2}} \geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$ jest spelniona przez wszystkie liczby rzeczywiste $a \mathrm{i} b$.

Zadanie 13.4. [matura, maj 2011, zadanie 1. (4 pkt)]
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ liczba $k^{6}-2 k^{4}+k^{2}$ jest podzielna przez 36.

Zadanie 13.5. [matura, maj 2011, zadanie 2. (4 pkt)]
Uzasadnij, że jeżeli $a \neq b, a \neq c, b \neq c$ i $a+b=2 c$, to $\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}=2$.

Zadanie 13.6. [matura, maj 2012, zadanie 7. (3 pkt)]
Udowodnij, że jeżeli $a+b \geq 0$, to prawdziwa jest nierówność $a^{3}+b^{3} \geq a^{2} b+a b^{2}$.

Zadanie 13.7. [matura, czerwiec 2012, zadanie 6. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b, c$ i $d$ prawdziwa jest nierówność $a c+b d \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2}+d^{2}}$.

Zadanie 13.8. [matura, czerwiec 2013, zadanie 4. (4 pkt)]
Wykaż, że prawdziwa jest równość $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3$.

Zadanie 13.9. [matura, czerwiec 2013, zadanie 5 . (3 pkt)]
Uzasadnij, że jeżeli $2 a+b \geq 0$, to $2 a^{3}+b^{3} \geq 3 a^{2} b$.

Zadanie 13.10. [matura, maj 2014, zadanie 4. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $x, y$ prawdziwa jest nierówność $(x+1) \frac{x}{y}+(y+1) \frac{y}{x}>2$.

Zadanie 13.11. [matura, czerwiec 2014, zadanie 3. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x(x-1)+y(y-1) \geq x y-1$.

Zadanie 13.12. [próbna matura, grudzień 2014, zadanie 13. (3 pkt)]
Wykaż, że jeżeli $a>b \geq 1$, to $\frac{a}{2+a^{3}}<\frac{b}{2+b^{3}}$.

Zadanie 13.13. [matura, maj 2015, zadanie 8. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^{4}-x^{2}-2 x+3>0$.

Zadanie 13.14. [matura, maj 2015, zadanie 1. (3 pkt)]
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ różnej od 1 prawdziwa jest równość $\log _{x}(x y) \cdot \log _{y}\left(\frac{y}{x}\right)=\log _{y}(x y) \cdot \log _{x}\left(\frac{y}{x}\right)$.

Zadanie 13.15. [matura, czerwiec 2015, zadanie 8. (3 pkt)]
Niech $a=\log _{12} 2$. Wykaż, że $\log _{6} 64=\frac{6 a}{1-a}$.

Zadanie 13.16. [matura, czerwiec 2015, zadanie 4. (3 pkt)]
Wykaż, że dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby a i dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby $b$ spełniona jest'równość
$\frac{1}{\log _{a} b}+\frac{1}{\log _{a^{2}} b}+\frac{1}{\log _{a^{3}} b}+\ldots+\frac{1}{\log _{a^{9}} b}+\frac{1}{\log _{a^{10}} b}=\frac{55}{\log _{a} b}$.

Zadanie 13.17. [matura, maj 2016, zadanie 8. (2 pkt)]
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^{2}+y^{2}=2$, prawdziwa jest nierówność $x+y \leq 2$.

Zadanie 13.18. [matura, czerwiec 2016, zadanie 8. (4 pkt)]
Wykaż, że dla $a, b, c, d>0$ prawdziwa jest nierówność $\sqrt{a+b} \cdot \sqrt{c+d} \geq \sqrt{a c}+\sqrt{b d}$.

Zadanie 13.19. [matura, czerwiec 2016, zadanie 5. (3 pkt)]
Wykaż, że jeśli $a, b, c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że $a+b+c=0$, to $3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$.

Zadanie 13.20. [matura, maj 2017, zadanie 7. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność $x^{2} y^{2}+2 x^{2}+2 y^{2}-8 x y+4>0$.

Zadanie 13.21. [matura, czerwiec 2017, zadanie 7. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5 x^{2}+y^{2}-4 x y+6 x+9 \geq 0$.

Zadanie 13.22. [matura, czerwiec 2017, zadanie 2. (3 pkt)]
Wykaż, że dla $a=\log _{\frac{1}{5}} 3+\log _{5} \sqrt{27}$ i $b=\log _{5} 3-\log _{5} \sqrt[9]{3}$ prawdziwa jest równość $\frac{b}{a}=\frac{16}{9}$.

Zadanie 13.23. [matura, maj 2018, zadanie 8. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ licżba $k^{3} m-k m^{3}$ jest podzielna przez 6.

Zadanie 13.24. [matura, czerwiec 2018, zadanie 6. (3 pkt)]
Dodatnie liczby rzeczywiste $a$ i $b$ takie, że $a>b$, spełniają warunek
$\log _{2}\left(\frac{a-b}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\log _{2} a+\log _{2} b\right)$.
Wykaż, że dla liczb $a$ i $b$ prawdziwa jest równość $a^{2}+b^{2}=11 a b$.

Zadanie 13.25. [matura, maj 2019, zadanie 8. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$, takich że $x

Zadanie 13.26. [matura, czerwiec 2019, zadanie 9. (3 pkt)]
Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^{5}-3 n^{4}-n+19$ jest podzielne przez 16.

Zadanie 13.27. [matura, czerwiec 2020, zadanie 8. (3 pkt)]
Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają równość $a^{2}+2 a=4 b^{2}+4 b$. Wykaż, że $a=2 b$.

Zadanie 13.28. [matura, lipiec 2020, zadanie 8. (3 pkt)]
Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej $n$ wyrażenie $n^{5}-3 n^{4}-n+3$ jest podzielne przez 16 .

Zadanie 13.29. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 6. (3 pkt)]
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5 x^{2}-6 x y+3 y^{2}-2 x-4>0$.

Zadanie 13.30. [matura, maj 2021, zadanie 6. (3 pkt)]
Niech $\log _{2} 18=c$. Wykaż, że $\log _{3} 4=\frac{4}{c-1}$.

Zadanie 13.31. [matura, czerwiec 2021, zadanie 6. (3 pkt)]
Niech $\log _{2} 9=c$. Wykaż, że $\log _{3} 54=\frac{3 c+2}{c}$.

Zadanie 13.32. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 5. (3 pkt)]
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą podzielną przez 36.

Zadanie 13.33. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 18.1. (4 pkt)]
Wykaż, że układ równań

\begin{align*} & 4 a+4 b+4 c=80 \tag{1}
& 2 a b+2 b c+2 c a=256 \tag{2} \end{align*}

z niewiadomymi $a$ oraz $b$ ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4 wtedy i tylko wtedy, gdy $c \in\left[4, \frac{28}{3}\right]$.

Zadanie 13.34. [matura, czerwiec 2022, zadanie 6. (3 pkt)]
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x \neq y$, spełniona jest nierówność

$$ x^{4}+y^{4}>x y\left(x^{2}+y^{2}\right) $$

Zadanie 13.35. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 3. (3 pkt)]
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ oraz dla każdej liczby rzeczywistej $y$, spełniających warunek $x+y \geq 1$, prawdziwa jest nierówność

$$ x^{3}+2 x y+y^{3} \geq x^{2}+x y(x+y)+y^{2} $$

Zadanie 13.36. [matura, maj 2023, zadanie 4. (3 pkt)]
Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^{3}-x^{2} y \leq x y^{2}-y^{3}$. Wykaż, ze $x=2$ oraz $y=2$.

Zadanie 13.37. [matura, czerwiec 2023, zadanie 5. (3 pkt)]
Wykaź, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność

$$ a^{2}+\frac{16}{a} \geq 12 $$