Rozdział 8. Planimetria

Zadanie 8.1. [matura CKE dla chętnych, styczeń 2003, zadanie 19. (5 pkt)] Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20 cm , jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość $\sqrt{41} \mathrm{~cm}$, oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 8.2 [próbna matura CKE, styczeń 2004, zadanie 17. (5 pkt)] Odcinki o długościach: $2 \sqrt{3}, 3-\sqrt{3}, 3 \sqrt{2}$ są bokami trójkąta.
a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadànie 8.3. [matura, maj 2006, zadanie 17. (6 pkt)] Na okręgu o promieniu $r$ opisano trapez równoramienny $A B C D$ o dłuższej podstawie $A B$ i krótszej $C D$. Punkt styczności $S$ dzieli ramię $B C$ tak, że $\frac{|C S|}{|S B|}=\frac{2}{5}$.
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus $|\varangle C B D|$.

Zadanie 8.4. [próbna matura CKE, listopad 2006, zadanie 4. (7 pkt)] Trójkąt prostokątny $A B C$, w którym $|\varangle B C A|=90^{\circ}$ i $|\varangle C A B|=30^{\circ}$, jest opisany na okręgu o promieniu $\sqrt{3}$. Oblicz odległość wierzchołka $C$ trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.

Zadanie 8.5. [próbna matura CKE, listopad 2006, zadanie 12. (4 pkt)] Dwa okręgi, każdy o promieniu 8 , są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).

Zadanie 8.6. [matura, maj 2007, zadanie 4. (3 pkt)] Dany jest trójkąt o bokach długości $1, \frac{3}{2}, 2$. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.

Zadanie 8.7. [matura, maj 2007, zadanie 10. (4 pkt)] Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi $\frac{\pi \sqrt{3}}{8}$. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.

Zadanie 8.8. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 7. ( 4 pkt )] W czworokącie wypukłym $A B C D$ dane są: $|A B|=2,|B C|=\sqrt{3},|C D|=3,|D A|=4$ i $|\varangle D A B|=60^{\circ}$. Oblicz pole tego czworokąta.

Zadanie 8.9. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 9. (5 pkt)] W trójkącie równoramiennym $A B C$, w którym $|A C|=|B C|$ wysokość $C E$ jest dwa razy dłuższa od wysokości $A D$ (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta $A B C$.

Zadanie 8.10. [matura, maj 2008, zadanie 12. (4 pkt)] W trójkącie prostokątnym $A B C$ przyprostokątne mają długości: $|B C|=9,|C A|=12$. Na boku $A B$ wybrano punkt $D$ tak, że odcinki $B C$ i $C D$ mają równe długości. Oblicz długość odcinka $A D$.

Zadanie 8.11. [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 8. (6 pkt)] Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Zadanie 8.12. [matura, maj 2009, zadanie 8. (4 pkt)]
Dwa okręgi o środkach $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy $3+2 \sqrt{2}$.

Zadanie 8.13. [matura, sierpień 2010, zadanie 8. (4 pkt)]
Odcinek $C D$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $A C B$ trójkąta $A B C$. Kąty trójkąta $A B C$ mają miary: $|\varangle C A B|=42^{\circ},|\varangle A B C|=78^{\circ}$. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie $C$ przecina prostą $A B$ w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta $C D E$.

Zadanie 8.14. [matura, maj 2011, zadanie 6. (4 pkt)]
Podstawa $A B$ trójkąta równoramiennego $A B C$ ma długość 8 oraz $|\varangle B A C|=30^{\circ}$. Oblicz długość środkowej $A D$ tego trójkąta.

Zadanie 8.15. [matura, czerwiec 2011, zadanie 7. (4 pkt)]
Dany jest trójkąt ostrokątny $A B C$, w którym $|A C|=5 \mathrm{i}|A B|=8$. Pole tego trójkąta jest równe $10 \sqrt{3}$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 8.16. [matura, maj 2012, zadanie 9. (5 pkt)]
Dany jest prostokąt $A B C D$, w którym $|A B|=a,|B C|=b \mathrm{i} a>b$. Odcinek $A E$ jest wysokością trójkąta $D A B$ opuszczoną na jego bok $B D$. Wyraź pole trójkąta $A E D$ za pomocą $a$ i $b$.

Zadanie 8.17. [matura, czerwiec 2012, zadanie 8. (5 pkt)]
W czaworokącie $A B C D$ dane są długości boków: $|A B|=24,|C D|=15,|A D|=7$. Ponadto kąty $D A B$ oraz $B C D$ są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Zadanie 8.18. [matura, maj 2013, zadanie 9. (5 pkt)]
Dany jest trójkąt $A B C$, w którym $|A C|=17$ i $|B C|=10$. Na boku $A B$ leży punkt $D$ taki, że $|A D|:|D B|=3: 4$ oraz $|D C|=10$. Oblicz pole trójkąta $A B C$.

Zadanie 8.19. [matura, czerwiec 2013, zadanie 6. (5 pkt)]
W równoległoboku $A B C D$ miara kąta ostrego jest równa $30^{\circ}$, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe $2 \mathrm{i} \sqrt{3}$. Oblicz długość krótszej przekątnej tego równoległoboku.

Zadanie 8.20. [matura, maj 2014, zadanie 9. (5 pkt)]
Dane są trzy okręgi o środkach $A, B, C$ i promieniach równych odpowiednio $r, 2 r, 3 r$. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy ż drugim w punkcie $K$, drugi z trzecim w punkcie $L$ i trzeci z pierwszym w punkcie $M$. Oblicz stosunek pola trójkąta $K L M$ do pola trójkąta $A B C$.

Zadanie 8.21. [matura, czerwiec 2014, zadanie 2. (4 pkt)]
W czworokąt $A B C D$, w którym $|A D|=5 \sqrt{3}$ i $|C D|=6$, można wpisać okrąg. Przekątna $B D$ tworzy z bokiem $A B$ czworokąta kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $A D$ tworzy kąt, którego sinus jest równy $\frac{3}{4}$. Wyznacz długości boków $A B$ i $B C$ oraz długość przekątnej $B D$ tego czworokąta.

Zadanie 8.22. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 7. (2 pkt)]
Długości boków prostokąta są równe 3 oraz 5. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Zadanie 8.23. [matura, maj 2015, zadanie 10. (4 pkt)]
Długości boków czworokąta $A B C D$ są równe: $|A B|=2,|B C|=3,|C D|=4,|D A|=5$.
Na czworokącie $A B C D$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $A C$ tego czworokąta.

Zadanie 8.24. [matura, maj 2015, zadanie 8. (4 pkt)]
Na boku $A B$ trójkąta równobocznego $A B C$ wybrano punkt $D$ taki, że $|A D|:|D B|=2: 3$. Oblicz tangens kąta $A C D$.

Zadanie 8.25. [matura, czerwiec 2015, zadanie 11. (4 pkt)]
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Zadanie 8.26. [matura, czerwiec 2016, zadanie 10. (4 pkt)]
Dany jest trójkąt $A B C$, w którym $|A C|=|B C|=10,|\varangle A C B|=120^{\circ}$. Na boku $C B$ obrano punkt $P$ dzielący ten bok w stosunku $3: 2$ (licząc od punktu $C$ ). Oblicz sinus kąta $P A B$.

Zadanie 8.27. [matura, maj 2017, zadanie 9. (6 pkt)]
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36 , a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10 . Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 8.28. [matura, czerwiec 2017, zadanie 14. (6 pkt)]
Trapez równoramienny $A B C D$ o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $A B$ trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $A C$ i $B D$ trapezu przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $A B P$.

Zadanie 8.29. [matura, maj 2018, zadanie 3 . (5 pkt)]
Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$, w którym $|A D|=|A B|=|B C|=a,|\varangle B A D|=60^{\circ} \mathrm{i}|\varangle A D C|=135^{\circ}$. Oblicz pole czworokąta $A B C D$.

Zadanie 8.30. [matura, czerwiec 2018, zadanie 12. (5 pkt)]
Trapez prostokątny $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ jest opisany na okręgu. Ramię $B C$ ma długość 10, a ramię $A D$ jest wysokością trapezu. Podstawa $A B$ jest 2 razy dłuższa od podstawy $C D$. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 8.31. [matura, maj 2019, zadanie 10. (4 pkt)]
Punkt $D$ leży na boku $A B$ trójkąta $A B C$ oraz $|A C|=16,|A D|=6,|C D|=14$ i $|B C|=|B D|$. Oblicz obwód trójkąta $A B C$.

Zadanie 8.32. [matura, czerwiec 2019, zadanie 10. (4 pkt)]
Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest o $2^{\circ}$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+2)-$ kąta foremnego. Oblicz $n$.

Zadanie 8.33. [matura, maj 2020, zadanie 8. (4 pkt)]
W trójkącie równoramiennym $A B C$ : $|A C|=|B C|=10$, a miara kąta $A B C$ jest równa $30^{\circ}$. Na boku $B C$ wybrano punkt $P$, taki, że $\frac{|B P|}{|P C|}=\frac{2}{3}$. Oblicz sinus kąta $\alpha$ (zobacz rysunek).

Zadanie 8.34. [matura, lipiec 2020, zadanie 14. (6 pkt)]
Dany jest romb $A B C D$. Przez wierzchołki $B$ i $D$ poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki $C D$ i $A B$-odpowiednio - w punktach $M$ i $N$, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury $A N D, N B M D, B C M$ o równych polach. Ponadto wiadomo, że

$|M B|=|N D|=|B D|$ (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Zadanie 8.35. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 9. (4 pkt)]
Czworokąt $A B C D$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R=5 \sqrt{2}$. Przekątna $B D$ tego czworokąta ma długość 10 . Kąty wewnętrzne $B A D$ i $A D C$ czworokąta $A B C D$ są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy $\frac{3}{8}$. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta-

Zadanie 8.36. [matura, maj 2021, zadanie 13. (4 pkt)]
Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $A B C$, który ma większą miarę.

Zadanie 8.37. [matura, czerwiec 2021, zadanie 14. (5 pkt)]
Na okręgu jest opisany czworokąt $A B C D$. Bok $A D$ tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku $A B$, a przekątna $B D$ ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:

$$ \cos (\measuredangle A D B)=\frac{7}{8}, \quad|\measuredangle B C D|=90^{\circ} \quad \text { oraz } \quad|A B|>\sqrt{15} . $$

Oblicz długość boku $B C$ tego czworokąta.

Zadanie 8.38. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 11. (5 pkt)]
Dany jest trapez $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$, w którym $|A B|>|C D|$ oraz ramię $B C$ ma długość 6 . Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu $R=5$. Miary kątów $B A C$ i $A B C$ tego trapezu spełniają warunek

$$ \frac{\sin |\varangle B A C|}{\sin |\varangle A B C|}=\frac{5}{8} $$

Oblicz pole i obwód trapezu $A B C D$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 8.39. [matura, maj 2023, zadanie 8. (4 pkt)]
Czworokąt $A B C D$, w którym $B C=4$ i $C D=5$, jest opisany na okregu. Przekątna $A C$ tego czworokąta tworzy z bokiem $B C$ kąt o miérze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $A B$ - kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$.

Oblicz obwód czworokąta $A B C D$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 8.40. [matura, czerwiec 2023, zadanie 12. (5 pkt)]

Czworokąt wypukły $A B C D$ jest wpisany w okrag o promieniu 4. Kąty $B A D$ i $B C D$ są proste (zobacz rysunek). Przekątne $A C$ i $B D$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$ tak, ze $|B E|=3 \cdot|D E|$ oraz $|B D|=2 \cdot|A E|$.

Oblicz długości boków czworokąta $A B C D$. Zapisz obliczenia.