Rozdział 6. Ciągi liczbowe

Zadanie 6.1. [matura CKE dla chętnych, styczeń 2003, zadanie 14. (5 pkt)]
Suma $n$ początkowych, kolejnych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$, jest obliczana według wzoru

$$ S_{n}=n^{2}+3 n,\left(n \in N^{+}\right) $$

Wyznacz $a_{n}$. Wykaż, że ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 6.2 [matura CKE dla chętnych, styczeń 2003, zadanie 15. (5 pkt)]
Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10 . Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 6.3. [matura próbna CKE, listopad 2006, zadanie 10. (5 pkt)]
Ciąg liczbowy $\left(a_{n}\right)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wzorem

$$ a_{n}=(n-3)\left(2-p^{2}\right), \text { gdzie } p \in \boldsymbol{R} . $$

a) Wykaż, że dla każdej wartości $p$ ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest arytmetyczny.
b) Dla $p=2$ oblicz sumę $a_{20}+a_{21}+a_{22}+\ldots+a_{40}$.
c) Wyznacz wszystkie wartości $p$, dla których ciąg $\left(b_{n}\right)$ określony wzorem $b_{n}=a_{n}-p n$ jest stały.

Zadanie 6.4. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 10. (3 pkt)]
Dany jest ciąg $x_{n}=-1-n$ dla $n \geq 1$. Ciąg $\left(y_{n}\right)$ ma tę własność, że dla każdego $n \geq 1$ punkty o współrzędnych $\left(x_{n}, 0\right),(-1,1),\left(0, y_{n}\right)$ leżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny ciągu $\left(y_{n}\right)$.

Zadanie 6.5. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 10. (5 pkt)]
Ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ jest określony wzorem $a_{n}=3^{1-n}$ dla $n \geq 1$
a) Oblicz iloraz tego ciągu.
b) Oblicz $\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\log _{3} a_{3}+\ldots+\log _{3} a_{100}$, czyli sumę logarytmów o podstawie 3 , stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 6.6. [matura, maj 2008, zadanie 6. (3 pkt)]

Udowodnij, że jeżeli ciąg $(a, b, c)$ jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to $a=b=c$.

Zadanie 6.7. [matura, maj 2009, zadanie 4. (5 pkt)]
W skarbcu królewskim było $k$ monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę $k$, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości $k$ oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Zadanie 6.8. [matura, maj 2009, zadanie 7. (6 pkt)]
Ciąg $(x-3, x+3,6 x+2, \ldots)$ jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że $\frac{S_{19}}{S_{20}}<\frac{1}{4}$, gdzie $S_{n}$ oznacza sumę $n$ początkowych
wyrazów tego ciagu. wyrazów tego ciągu.

Zadanie 6.9. [matura, maj 2010, zadanie 5. (5 pkt)]
O liczbach $a, b, c$ wiemy, że ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny i $a+c=10$, zaś ciąg $(a+1, b+4, c+19)$ jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 6.10. [matura, sierpień 2010, zadanie 11. (5 pkt)]
Ciąg $(a, b, c)$ jest geometryczny i $a+b+c=10$, zaś ciąg ( $a-5, b-4, c-11$ ) jest arytmetyczny. Oblicz $a, b, c$.

Zadanie 6.11. [matura, maj 2011, zadanie 5. (4 pkt)]
O ciągu $\left(a_{n}\right)$ dla $\mathrm{n} \geq 1$ wiadomo, że:
a) ciąg $\left(a_{n}\right)$ określony wzorem $a_{n}=3^{x_{n}}$ dla $n \geq 1$ jest geometryczny o ilorazie $q=27$.
b) $x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{10}=145$.

Oblicz $x_{1}$.

Zadanie 6.12. [matura, czerwiec 2011, zadanie 3. (5 pkt)]
Ciąg $(a, b, c)$ jest geometryczny. Ciąg $(3 a+3,2 b, c-12)$ jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz $a, b, c$.

Zadanie 6.13. [matura, maj 2012, zadanie 5 . (6 pkt)]
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.

Zadanie 6.14. [matura, czerwiec 2012, zadanie 5. (5 pkt)]
W ciągu arytmetycznym $\left(a_{n}\right)$, dla $n \geq 1$, dane są $a_{1}=-2$ oraz różnica $r=3$. Oblicz największe $n$ takie, że $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}<2012$.

Zadanie 6.15. [matura, maj 2013, zadanie $5 .(5 \mathrm{pkt})$ ]
Ciąg liczbowy ( $a, b, c$ ) jest arytmetyczny i $a+b+c=33$, natomiast ciąg ( $a-1, b+5, c+19$ ) jest geometryczny. Oblicz $a, b, c$.

Zadanie 6.16. [matura, czerwiec 2013, zadanie 10. (4 pkt)]
Liczby $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Uzasadnij, że prawdziwa jest równość $\sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}}=\sqrt{a_{1} \cdot a_{n}}$.

Zadanie 6.17. [matura, maj 2014, zadanie 7. (6 pkt)]
Ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz $\log a_{1}+\log a_{2}+\log a_{3}+\ldots+\log a_{100}=100$. Oblicz $a_{1}$.

Zadanie 6.18. [matura, czerwiec 2014, zadanie 8. (6 pkt)]
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od 1. Jeżeli weźmiemy kolejno drugą z nich, pierwszą i trzecią, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jeżeli pierwszy wyraz tego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o 7, drugi pozostawimy bez zmian, a trzeci zwiększymy o 3, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz te liczby.

Zadanie 6.19. [matura, maj 2015, zadanie 4. (6 pkt)]
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy 5, do drugiej 3, a do trzeciej 4 , to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy większy od pierwszego. Znajdź te liczby.

Zadanie 6.20. [matura, czerwiec 2016, zadanie 10. (3 pkt)]
Dany jest ciąg $\left(a_{n}\right)$ określony dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$, w którym $a_{4}=4$ oraz dla każdej liczby $n \geq 1$ prawdziwa jest równość $a_{n+1}=a_{n}+n-4$. Oblicz pierwszy wyraz ciągu $\left(a_{n}\right)$ i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Zadanie 6.21. [matura, czerwiec 2016, zadanie 4 (3 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony wzorem $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1
a_{n+1}=2 a_{n}+3 n+2 \text { dla } n \geq 1\end{array}\right.$.
Oblicz średnią arytmetyczną liczb $a_{2}+3$ i $a_{3}+2$.

Zadanie 6.22. [matura, maj 2017, zadanie 14. (6 pkt)]
Liczby $a, b, c$ są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27 . Ciąg $(a-2, b, 2 c+1)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a, b, c$.

Zadanie 6.23. [matura, czerwiec 2017, zadanie 10. (5 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest arytmetyczny, a ciąg $\left(b_{n}\right)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz $a_{1}$ ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego $\left(b_{n}\right)$. Wyrazy ciągu $\left(a_{n}\right)$ są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz $b_{1}$ ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego ( $a_{n}$ ). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego ( $b_{n}$ ) jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Zadanie 6.24. [matura, maj 2018, zadanie 13. (4 pkt)]
Wyrazy ciągu geometrycznego $\left(a_{n}\right)$ określonego dla $n \geq 1$, spełniają układ równań

$$ \left\{\begin{array}{l} a_{3}+a_{6}=-84
a_{4}+a_{7}=168 \end{array}\right. $$

Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_{n}$ jest równa 32769 .

Zadanie 6.25. [matura, maj 2018, zadanie $2(5 \mathrm{pkt})]$
Liczby $a, b, c$, spełniające warunek $3 a+b+3 c=77$, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg $(a, b+1,2 c)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a, b, c$ oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Zadanie 6.26. [matura, czerwiec 2018, zadanie 10. (4 pkt)]
Dany jest rosnący ciąg geometryczny ( $a, a q, a q^{2}$ ), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.

Zadanie 6.27. [matura, maj 2019, zadanie 12. (6 pkt)]
Trzywyrazowy ciąg ( $a, b, c$ ) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $\left(\frac{1}{a}, \frac{2}{3 b}, \frac{1}{2 a+2 b+c}\right)$ jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Zadanie 6.28. [matura, maj 2019, zadanie 4. (5 pkt)]
Ciąg $(a, b, c)$ jest geometryczny, ciąg $(a+1, b+5, c)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz $a+b+c=39$. Oblicz $a, b, c$.

Zadanie 6.29. [matura, czerwiec 2019, zadanie 4. (4 pkt)]
W ciągu geometrycznym $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\right)$ suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 182, a stosunek sumy wyrazów o numerach nieparzystych do sumy wyrazów o numerach parzystych jest równy $\frac{1}{3}$. Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Zadanie 6.30. [matura, czerwiec 2020, zadanie 10. (5 pkt)]
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$, spełniona jest równość $a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{21}{4}$. Wyrazy $a_{3}, a_{2}, a_{1}$, są odpowiednio - czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_{1}$.

Zadanie 6.31. [matura, lipiec 2020, zadanie 6. (3 pkt)]
Pierwszy wyraz ciągu $\left(a_{n}\right)$, określonego dla $n \geq 1$, jest równy 2 . Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_{n}=3 \cdot a_{n+1}+n^{2}$. Oblicz sumę $a_{1}+a_{2}+a_{3}$.

Zadanie 6.32. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 12. (5 pkt)]
Czterowyrazowy ciąg $(a, b, c, d)$ jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg ( $a+100, b, c$ ) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu ( $a, b, c, d$ ).

Zadanie 6.33. [matura, czerwiec 2023, zadanie 11. (5 pkt)]
Ciag $(a, b, c)$ jest trzywyrazowym ciagiem geometrycznym o wyrazach dodatnich.
Ciąg $(2 a, 2 b, c+1)$ jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym.
Ponadto spełniony jest warunek $c-b=6$. Oblicz $a, b$ oraz $c$. Zapisz obliczenia.