Rozdział 7. Trygonometria — obliczenia

Zadanie 7.1. [matura, maj 2005, zadanie 14. (5 pkt)]
Oblicz:

$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+4+7+\ldots+(3 n-2)}{5+7+9+\ldots+(2 n+3)} $$

Zadanie 7.2 [test diagnostyczny CKE, grudzień 2005, zadanie 15. (5 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci:

$$ 2, \frac{2}{(p-1)}, \frac{2}{(p-1)^{2}}, \frac{2}{(p-1)^{3}}, \cdots $$

Wyznacz wszystkie wartości $p$, dla których granicą tego ciągu jest liczba:
a) 0 .
b) 2 .

Zadanie 7.3. [matura, styczeń 2006, zadanie 14. (4 pkt)]
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok pierwszego trójkąta ma długość $a(a>0)$.

Zadanie 7.4. [matura, maj 2006, zadanie 13. (5 pkt)]
Dany jest ciąg $\left(a_{n}\right)$, gdzie $a_{n}=\frac{5 n+6}{10(n+1)}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
a) Zbadaj monotoniczność ciągu $\left(a_{n}\right)$.
b) Oblicz $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$.
c) Podaj największą liczbę $a$ i najmniejszą liczbę $b$ takie, że dla każdego $n$ spełniony jest warunek $a \leq a_{n} \leq b$.

Zadanie 7.5. [matura, maj 2006, zadanie 19. (7 pkt)]
Nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: $a_{1}=2$, $a_{n+1}=a_{n} \cdot \log _{2}(k-2)$, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu $\left(a_{n}\right)$.

Zadanie 7.6. [matura, maj 2007, zadanie 11. (4 pkt)]
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $\left(a_{n}\right)$ wyraża się wzorem $S_{n}=2 n^{2}+n$ dla $n \geq 1$.
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: $a_{2}+a_{4}+a_{6}+\ldots+a_{100}$.
b) Oblicz $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_{n}}{3 n^{2}-2}$.

Zadanie 7.7. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 8. (2 pkt)]
Oblicz granicę

$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{n+2}-\frac{(n+2)^{2}}{n+444}\right) $$

Zadanie 7.8. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 12. (3 pkt)]
Niech $P_{n}$ oznacza pole koła o promieniu $\frac{1}{2^{n}}$, dla $n \geq 1$.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $\left(P_{n}\right)$.

Zadanie 7.9. [matura, maj 2015, zadanie 14. (2 pkt)]
Oblicz granicę

$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{11 n^{3}+6 n+5}{6 n^{3}+1}-\frac{2 n^{2}+2 n+1}{5 n^{2}-4}\right) $$

Zadanie 7.10. [matura, maj 2016, zadanie 8. (2 pkt)]

Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ określony wzorem $a_{n}=\left(\frac{1}{2 x-371}\right)^{n}$ dla $n \geq 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ jest zbieżny.

Zadanie 7.11. [matura, czerwiec 2016, zadanie 6. (2 pkt)] Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$. określony dla $n \geq 1$, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 7.12. [matura, czerwiec 2018, zadanie 11. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg okręgów $\left(o_{n}\right)$ o równaniach $x^{2}+y^{2}=2^{11-n}, n \geq 1$. Niech $P_{k}$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2 k-1}$ wewnętrznym okręgiem $o_{2 k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_{k}$, gdzie $k \geq 1$.

Zadanie 7.13. [matura, maj 2019, zadanie 5. (2 pkt)] Oblicz granicę

$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{9 n^{3}+11 n^{2}}{7 n^{3}+5 n^{2}+3 n+1}-\frac{n^{2}}{3 n^{2}+1}\right) $$

Zadanie 7.14. [matura, lipiec 2020, zadanie 5. (2 pkt)] Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $\left(a_{n}\right)$, określonego dla $n \geq 1$, jest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz ciągu $\left(a_{n}\right)$.

Zadanie 7.15. [matura, maj 2021, zadanie 5. (2 pkt)] Oblicz granicę

$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(3 n+2)^{2}-(1-2 n)^{2}}{(2 n-1)^{2}} $$

Zadanie 7.16. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 3. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ jest równa 7 , a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8.
Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność

$$ \left|\frac{S-S_{n}}{S_{n}}\right|<0,001 $$

gdzie $S_{n}$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 7.17. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 8. (2 pkt)] Oblicz granicę $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{6^{n}+7^{n}} $$

Zadanie 7.18. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 13. (4 pkt)]
W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $\left(a_{n}\right)$, określonym dla $n \geq 1$, jest spełniony warunek

$$ \frac{a_{5}+a_{3}}{a_{3}}=\frac{29}{25} $$

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu ( $a_{n}$ ).

Zadanie 7.19. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 17. (3 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony wzorem

$$ a_{n}=(n+5)^{2} \cdot\left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2 p+2}{(n+2)(n+3)}\right) \text { dla } n \geq 1 $$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których granica ciągu jest równa 12 .

Zadanie 7.20. [matura, maj 2022, zadanie 5. (2 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wzorem $a_{n}=\frac{(7 p-1) n^{3}+5 p n-3}{(p+1) n^{3}+n^{2}+p}$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $\left(a_{n}\right)$ jest równa $\frac{4}{3}$.

Zadanie 7.21. [matura, maj 2022, zadanie 10. (4 pkt)]
Ciąg $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_{1}=675$ i $a_{22}=\frac{5}{4} a_{23}+\frac{1}{5} a_{21}$.
Ciąg $\left(b_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu $\left(a_{n}\right)$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $\left(b_{n}\right)$. Ponadto $a_{3}=b_{4}$. Oblicz $b_{1}$.

Zadanie 7.22. [matura, czerwiec 2022, zadanie 10. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $|q|<1$.
Stosunek sumy $S_{N}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_{P}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\frac{S_{N}}{S_{P}}=S_{N}-S_{P}$. Oblicz $q$.

\begin{figure}[h] \begin{center} \captionsetup{labelformat=empty} \caption{a} \end{center} \end{figure}

Zadanie 7.23. [matura, maj 2023, zadanie 10. (4 pkt)]
Określamy kwadraty $K_{1}, K_{2}, K_{3}, \ldots$ następująco:

\begin{itemize} \item $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$ \item $K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku 1:3 \item $K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku 1:3
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$, \item $K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku 1:3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. \end{itemize}

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Zadanie 7.24. [matura, czerwiec 2023, zadanie 5. (2 pkt)]
Oblicz granicę

$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^{3}-2 n+1}{3 n^{3}-n^{2}-2 n+3} $$

Zadanie 7.25. [matura, czerwiec 2023, zadanie 7. (4 pkt)]
Dany jest nieskończony szereg geometryczny

$$ 2 x-\frac{6 x}{x-1}+\frac{18 x}{(x-1)^{2}}-\frac{54 x}{(x-1)^{3}}+\ldots $$

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $x$ (różnej od 0 i od 1 ), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\frac{15}{2}$. Zapisz obliczenia.