Rozdział 15. Funkcje — parametry i granice

Zadanie 15.1. [matura CKE dla chętnych, styczeń 2003, zadanie 13. (4 pkt)]
Wyznacz te wartości parametrów $a$ oraz $b$, przy których funkcja $g: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}$, określona wzorem

$$ g(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}+a}{x-2} & \text { dla } x \neq 2
b & \text { dla } x=2\end{cases} $$

jest ciągła w punkcie $x=2$.

Zadanie 15.2. [matura CKE dla chętnych, maj 2003, zadanie 12. (5 pkt)] Sprawdź, czy funkcja $f$ określona wzorem

$$ f(x)= \begin{cases}\frac{x(x-1)(x-2)}{x^{2}-3 x+2} & \text { dla } x \neq 1 \text { i } x \neq 2
1 & \text { dla } x=1
3 & \text { dla } x=2\end{cases} $$

jest ciągła w punktach $x=1$ i $x=2$. Sformułuj odpowiedź.

Zadanie 15.3. [matura CKE dla chętnych, maj 2003, zadanie 18. (5 pkt)]
W tabeli podane są wartości funkcji $f:(-3,4) \rightarrow \boldsymbol{R}$ dla trzech argumentów.

\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $x$ & -2 & 0 & 3
\hline $f(x)$ & $3 \frac{5}{8}$ & $\frac{5}{8}$ & -1
\hline \end{tabular} \end{center}

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji $f$.
a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie o odciętej $x=0$.
b) Wyznacz ekstremum funkcji $f$. Podaj argument, dla którego funkcja f osiąga ekstremum.
c) Podaj najmniejszą wartość funkcji $f$.

Zadanie 15.4. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2005, zadanie 12. (5 pkt)] Rysunek obok przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej $W(x)$ stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby ( -2 ) oraz 1 , a pochodna $W^{\prime}(-2)=18$.
a) Wyznacz wzór wielomianu $W(x)$.
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej $x=3$.

Zadanie 15.5. [matura, styczeń 2006, zadanie 17. (5 pkt)] Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji $f$.
a) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja $f$ jest malejąca.
b) Wyznacz wartość $x$, dla której funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne. Odpowiedź uzasadnij.
c) Wiedząc, że punkt $A=(1,2)$ należy do wykresu funkcji $f$, napisz równanie stycznej do krzywej $f$ w punkcie $A$.

Zadanie 15.6. [matura, maj 2006, zadanie 21. (5 pkt)]
W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja $f$ ma następujące własności:

\begin{itemize} \item jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
$-f$ jest funkcją nieparzystą, \item $f$ jest funkcją ciągłą
oraz: \end{itemize}

$$ \begin{aligned} & f^{\prime}(x)<0 \text { dla } x \in(-8,-3),
& f^{\prime}(x)>0 \text { dla } x \in(-3,-1),
& f^{\prime}(x)<0 \text { dla } x \in(-1,0),
& f^{\prime}(-3)=f^{\prime}(-1)=0,
& f(-8)=0,
& f(-3)=-2,
& f(-2)=0,
& f(-1)=1 . \end{aligned} $$

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji $f$ w przedziale $\langle-8,8\rangle$, wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.

Zadanie 15.7. [matura próbna CKE, listopad 2006, zadanie 8. (4 pkt)]
Uczeń analizował własności funkcji $f$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną $f^{\prime}(x)$ dla każdego $x \in \boldsymbol{R}$. Wyniki tej analizy zapisał w tabeli.

\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & $(-\infty,-1)$ & -1 & $(-1,2)$ & 2 & $(2,3)$ & 3 & $(3,+\infty)$
\hline $f^{\prime}(x)$ & $(+)$ & 0 & $(-)$ & 0 & $(-)$ & 0 & $(-)$
\hline $f(x)$ & & 2 & & -1 & & 1 &
\hline \end{tabular} \end{center}

Niestety, wpisując znaki pochodnej, popełnił jeden błąd.
a) Przekreśl błędnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidłowy.
b) Napisz, czy po poprawieniu błędu w tabeli, zawarte w niej dane pozwolą określić dokładną liczbę miejsc zerowych funkcji

Zadanie 15.8. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 9. (2 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^{2}}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 4$. Oblicz pochodną funkcji $f$ w punkcie $x=12$.

Zadanie 15.9. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 10. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^{4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f$, która jest równoległa do prostej $y=4 x+7$.

Zadanie 15.10. [matura, maj 2015, zadanie 12. (4 pkt)]
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y=4 x$.

Zadanie 15.11. [matura, maj 2017, zadanie 6. (3 pkt)]
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie $P=(1,0)$.

Zadanie 15.12. [matura, maj 2018, zadanie 6. (3 pkt)]
Styczna do paraboli o równaniu $y=\sqrt{3} x^{2}-1 \mathrm{w}$ punkcie $P=\left(x_{0}, y_{0}\right)$ jest nachylona do osi $O x$ pod kątem $30^{\circ}$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Zadanie 15.13. [matura, maj 2019, zadanie 7. (2 pkt)]
Punkt $P=(10,2429)$ leży na paraboli o równaniu $y=2 x^{2}+x+2219$. Prosta o równaniu kierunkowym $y=a x+b$ jest styczna do tej paraboli w punkcie $P$. Oblicz współczynnik $b$.

Zadanie 15.14. [matura, czerwiec 2019, zadanie 7. (2 pkt)]
Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\frac{25 x^{2}-9}{x^{2}+2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Oblicz wartość $f^{\prime}(10)$ pochodnej tej funkcji dla argumentu 10.

Zadanie 15.15. [matura, czerwiec 2021, zadanie 13. (5 pkt)]
Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=\frac{x^{3}+k}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 0$.
Oblicz wartość $k$, dla której prosta o równaniu $y=-x$ jest styczna do wykresu funkcji $f$.

Zadanie 15.16. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 2. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^{2}+3}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 1$.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(-3,-3)$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 15.17. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 7. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem

$$ f(x)=\frac{3 x}{x+1} \text { dla każdego } x \in(-1,+\infty) $$

Wykaż, że $f$ jest funkcją rosnąca.

Zadanie 15.18. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 11. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem

$$ f(x)=\frac{2 x-3}{x+2}+4 \log _{\frac{1}{2}} x \text { dla wszystkich } x>0 $$

Wykaż, że funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$.

Zadanie 15.19. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 12. (4 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem

$$ f(x)=x^{4}+0,5 \cdot(2 x+1)^{4} \text { dla każdego } x \in \boldsymbol{R} . $$

Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji.

Zadanie 15.20. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 14. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem

$$ f(x)=x^{6}-2 x^{4}-x^{3}+1 \text { dla każdego } x \in \boldsymbol{R} . $$

Wykaż, że liczba 5 należy do zbioru wartości tej funkcji.

Zadanie 15.21. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 16. (3 pkt)]
Wykaż, że równanie

$$ x^{4}-7 x^{3}+9 x^{2}+8 x-2=0 $$

ma w przedziale $(-2,2)$ co najmniej dwa różne rozwiązania.

Zadanie 15.22. [matura, maj 2023, zadanie 3. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem

$$ f(x)=\frac{3 x^{2}-2 x}{x^{2}+2 x+8} $$

dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P=\left(x_{0}, 3\right)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
Zapisz obliczenia.

Zadanie 15.23. [matura, maj 2023, zadanie 12.]
Funkcja $f$ jest określona wzorem

$$ f(x)=81^{\log _{3} x}+\frac{2 \cdot \log _{2} \sqrt{27} \cdot \log _{3} 2}{3} \cdot x^{2}-6 x $$

dla każdej liczby dodatniej $x$.

Zadanie 15.23.1. [matura, maj 2023, zadanie 12.1. (2 pkt)]
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $\boldsymbol{x}$ wyrażenie

$$ 81^{\log _{3} x}+\frac{2 \cdot \log _{2} \sqrt{27} \cdot \log _{3} 2}{3} \cdot x^{2}-6 x $$

można równoważnie przekształcić do postaci $x^{4}+x^{2}-6 x$.

Zadanie 15.23.2 [matura, maj 2023, zadanie 12.2. (4 pkt)]
Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x)=x^{4}+x^{2}-6 x$.

Zadanie 15.24. [matura, czerwiec 2023, zadanie 4. (3 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+9 x$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$.
Punkt $P=\left(x_{0}, 18\right)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
Zapisz obliczenia.