Rozdział 9. Stereometria

Zadanie 9.1. [próbna matura CKE, styczeń 2004, zadanie 18. (6 pkt)]
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu $9 \mathrm{dm}^{2}$. Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{\pi}{6}$.
a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 9.2. [matura, maj 2005, zadanie 16. (5 pkt)]
Sześcian o krawędzi długości $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $\frac{\pi}{3}$. Sporządź odpowiedni rysunek.
Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zadanie 9.3. [matura, styczeń 2006, zadanie 19. (6 pkt)]
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa $a$. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę $45^{\circ}$. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Zadanie 9.4. [matura, maj 2007, zadanie 3. (5 pkt)] Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi $\frac{2}{3}$ objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.

Zadanie 9.5. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 8. (5 pkt)] W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna $A B C$ zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $\alpha=60^{\circ}$. Pole przekroju graniastosłupa tą plaszczyzną równa się $8 \sqrt{3}$. Zaznacz na poniższym rysunku kąt $\alpha$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zadanie 9.6. [matura, maj 2008, zadanie 11. (5 pkt)] W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: $H$ - wysokość ostrosłupa oraz $\alpha$ - miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy $\left(45^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right)$.
a) Wykaż, że objętość $V$ tego ostrosłupa jest równa $\frac{4}{3} \cdot \frac{H^{3}}{\operatorname{tg}^{2} \alpha-1}$.
b) Oblicz miarę kąta $\alpha$, dla której objętość $V$ danego ostrosłupa jest równa $\frac{2}{9} H^{3}$. Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby

stopni.

Zadanie 9.7. [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 11. (4 pkt)]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość. Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta.

Zadanie 9.8. [matura, maj 2009, zadanie 11. (6 pkt)]
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość $a$ i krawędź boczna jest od niej dwa razy dluższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.

Zadanie 9.9. [matura, maj 2010, zadanie 11. (5 pkt)]
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $2 \alpha$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.10. [matura, sierpień 2010, zadanie 7. (5 pkt)]
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $12 \sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Zadanie 9.11. [matura, maj 2011, zadanie 11. (6 pkt)]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $A B C D S$ o podstawie $A B C D$. W trójkącie równoramiennym $A S C$ stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy $|A C|:|A S|=6: 5$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 9.12. [matura, czerwiec 2011, zadanie 12. (4 pkt)]
W ostrosłupie trójkątnym $A B C S$ o podstawie $A B C$ i wierzchołku $S$ dane są: $|A B|=|A C|=|S B|=|S C|=9$ i $|A S|=|B C|=8$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.13. [matura, maj 2012, zadanie 10. (5 pkt)]
Podstawą ostrosłupa $A B C S$ jest trójkąt równoramienny $A B C$. Krawędź $A S$ jest wysokością ostrosłupa oraz $|A S|=8 \sqrt{210},|B S|=118,|C S|=131$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.14. [matura, czerwiec 2012, zadanie 11. (5 pkt)]
Podstawą ostrosłupa $A B C S$ jest trójkąt równoramienny $A B C$, w którym $|A B|=30$, $|B C|=|A C|=39$ i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka $S$ ma długość 26 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.15. [matura, maj 2013, zadanie 10. (4 pkt)]
W ostrosłupie $A B C S$ podstawa $A B C$ jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź $A S$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka $A$ od ściany $B C S$ jest równa $d$. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.16. [matura, czerwiec 2013, zadanie 9. (5 pkt)]
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $A B C S$ jest trójkąt $A B C$. Kąt nachylenia krawędzi bocznej $A S$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi $A S$ i $B S$ zawartymi w ścianie bocznej $A S B$ tego ostrosłupa (zob. rysunek). Oblicz kosinus tego kąta.

Zadanie 9.17. [matura, maj 2014, zadanie 9. (6 pkt)] Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego $A B C S$, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

Zadanie 9.18. [matura, czerwiec 2014, zadanie 10. (5 pkt)]
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $A B C D$ o boku długości 25 . Ściany boczne $A B S$ i $B C S$ mają takie same pola, każde równe 250 . Ściany boczne $A D S$ i $C D S$ też mają jednakowe pola, każde równe 187,5. Krawędzie boczne $A S$ i $C S$ mają równe długości. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.19. [matura, maj 2015, zadanie 14. (5 pkt)]
Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest kwadrat $A B C D$. Krawędź boczna $S D$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $A B S$ i $C B S$ tego ostrosłupa.

Zadanie 9.20. [matura, maj 2015, zadanie 10. (6 pkt)]
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $A B C D S$ ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $2 \alpha$. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

Zadanie 9.21. [matura, czerwiec 2015, zadanie 14. (5 pkt)]
Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest trapez $A B C D$. Przekątna $A C$ tego trapezu ma długość $8 \sqrt{3}$, jest prostopadła do ramienia $B C$ i tworzy z dłuższą podstawą $A B$ tego trapezu kąt o mierze $30^{\circ}$. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość $4 \sqrt{5}$. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.

Zadanie 9.22. [matura, czerwiec 2015, zadanie 9. (5 pkt)]
Dany jest sześcian $A B C D E F G H$ o krawędzi długości 2. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $B C$. Płaszczyzna $A H P$ przecina krawędź $C G$ w punkcie $R$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty $A, H, R$ i $P$.

Zadanie 9.25. [matura, maj 2017, zadanie 9. (4 pkt)]
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6 , umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$. równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\frac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$, tj. długość najkrótszego spośród odcinków $S P$, gdzie $P$ jest punktem płaszczyzny $\pi$.

Zadanie 9.26. [matura, maj 2017, zadanie 10. (6 pkt)]
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach $\frac{\pi}{3}$ i $\alpha$. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy $\frac{\sqrt{6}}{4}$. Wyznacz miarę kąta $\alpha$.

Zadanie 9.27. [matura, czerwiec 2017, zadanie 7. (6 pkt)]
Podstawą ostrosłupa $A B C D$ jest trójkąt równoramienny o podstawie $|A B|=b$ i kącie $\alpha$ pomiędzy ramionami. Krawędź $C D$ jest wysokością ostrosłupa, a kąt nachylenia ściany $A B D$ do podstawy ostrosłupa jest równy $\beta$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 9.28. [matura, maj 2018, zadanie 10. (4 pkt)] Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V=\frac{1}{3} \pi H\left(r^{2}+r R+R^{2}\right)$, gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw $r

Zadanie 9.29. [matura, maj 2018, zadanie 11. (5 pkt)]
Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $A B C S$ płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $S$ i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.30. [matura, czerwiec 2018, zadanie 3. (5 pkt)]
Podstawą ostrosłupa prawidłowego $A B C D S$ jest kwadrat $A B C D$. Punkt $M$ jest środkiem odcinka $A B$, a punkt $N$ jest środkiem odcinka $B C$. Trójkąt $M N S$ jest równoboczny i jego bok ma długość $m$. Oblicz objętość ostrosłupa $A B C D S$ i kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.
Zadanie 9.25. [matura, maj 2017, zadanie 9. (4 pkt)]
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6 , umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$. równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\frac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$, tj. długość najkrótszego spośród odcinków $S P$, gdzie $P$ jest punktem płaszczyzny $\pi$.

Zadanie 9.31. [matura, maj 2019, zadanie 11. (6 pkt)]
Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest prostokąt $A B C D$, którego boki mają długości $|A B|=32$ i $|B C|=18$. Ściany boczne $A B S$ i $C D S$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrostupa pod kątem $\alpha$. Ściany boczne $B C S$ i $A D S$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\beta$. Miary kątów $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek: $\alpha+\beta=90^{\circ}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 9.32. [matura, czerwiec 2019, zadanie 11. (6 pkt)]
Podstawą ostrosłupa prawidłowego $A B C S$ jest trójkąt równoboczny $A B C$ o boku długości 6 .
Na krawędziach bocznych $B S$ i $C S$ wybrano punkty, odpowiednio $D$ i $E$, takie że $|B D|=|C E|$ oraz $|D E|=4$ (zobacz rysunek). Plaszczyzna $A D E$ jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej $B C S$ ostrosłupa.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.33. [matura, czerwiec 2020, zadanie 14. (6 pkt)]
Podstawą ostrostupa czworokątnego $A B C D S$ jest trapez $A B C D \quad A B \| C D$. Ramiona tego trapezu mają długości $|A D|=10$ i $|B C|=16$, a miara kąta $A B C$ jest równa $30^{\circ}$. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z plaszczyzną podstawy kąt $\alpha$, taki, że $\operatorname{tg} \alpha=\frac{9}{2}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 9.34. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 11. (4 pkt)]
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $A B C D E F$. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 4 , a wysokość graniastosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta $A F B$.

Zadanie 9.35. [matura, czerwiec 2021, zadanie 10. (4 pkt)] Dany jest sześcian $A B C D E F G H$ o krawędzi długości 2. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $D H$ (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $C F S$.

Zadanie 9.36. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 10. (6 pkt)]
Dany jest ostrostup prawidłowy czworokątny $A B C D S$ o podstawie $A B C D$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2 \alpha$. Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k \cdot P^{3} \cdot \sin \alpha \cdot \cos 2 \alpha}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik $k$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 9.37. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 21. (5 pkt)]
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $A B C D E$ punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy $A B C D$ do sumy długości wszystkich krawędzi
ostrosłupa jest równy 1:5. Przez przekątną $A C$ podstawy i środek $S$ krawędzi bocznej $B E$ poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta $B S O$ (w zaokrągleniu do $1^{\circ}$ ).

Zadanie 9.38. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 25. (3 pkt)]
Dany jest sześcian $A B C D E F G H$ o krawędzi długości $a$. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $C G$ tego sześcianu (zobacz rysunek obok).

Oblicz odległość wierzchołka $C$ od płaszczyzny zawierającej punkty $B, D$ oraz $P$.

Zadanie 9.39. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 27. (4 pkt)]
Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt $S$ pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie $P$ położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości $H_{0}$ metrów n.p.m.
Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy $B$ znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości $H_{1}$ metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości $H_{2}$ metrów n.p.m. (patrz rysunek 1.).
Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dotrzeć do bazy.
Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia $\alpha$. Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdluż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła.

Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu $P$ do $B$ na wycinku koła.

Zadanie 9.40. [matura, maj 2022, zadanie 13. (5 pkt)] Dany jest graniastosłup prosty $A B C D E F G H$ o podstawie prostokątnej $A B C D$. Przekątne $A H$ i $A F$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin \alpha=\frac{12}{13}$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $A F H$ jest równe 26,4. Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Zadanie 9.41. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 10. (5 pkt)]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $A B C D S$ o podstawie $A B C D$. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos \alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Przez krawędź $B C$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej SAD.
Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę $\pi$ i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zapisz obliczenia.

Zadanie 9.42. [matura, maj 2023, zadanie 7. (4 pkt)] Dany jest sześcian $A B C D E F G H$ o krawędzi długości 6. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $A H$ i $D E$ ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S

na bok $B H$ tego trójkąta. Zapisz obliczenia.