Rozdział 5. Trygonometria — wykresy i własności

Zadanie 5.1. [próbna matura CKE, listopad 2006, zadanie 5. (3 pkt)]
Sporządź wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(x)=2|x|-x^{2}$, a następnie, korzystając z niego, podaj wszystkie wartości $x$, dla których funkcja $f$ przyjmuje maksima lokalne i wszystkie wartości $x$, dla których przyjmuje minima lokalne.

Zadanie 5.2 [matura, maj 2007, zadanie 1. (5 pkt)]
Dana jest funkcja $f(x)=|x-1|-|x+2|$ dla $x \in \boldsymbol{R}$.
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji $f$ dla $x \in(-\infty,-2)$.
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Podaj jej miejsca zerowe.
d) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $f(x)=m$ nie ma rozwiązania.

Zadanie 5.3. [matura, maj 2008, zadanie 2. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|x-2|+|3 x-6|<|x|$.

Zadanie 5.4. [matura próbna CKE, styczeń 2009, zadanie 2. (3 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|x+3|+|3 x+9|<|x+5|$.

Zadanie 5.5. [matura, maj 2010, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|2 x+4|+|x-1| \leq 6$.

Zadanie 5.6. [matura, sierpień 2010, zadanie 2. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|2 x+2|+|x-2|>5$.

Zadanie 5.7. [matura, czerwiec 2011, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|2 x-4|+|x-5| \geq 12$.

Zadanie 5.8. [matura, czerwiec 2012, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|x-2|+|x+1| \geq 3 x-3$.

Zadanie 5.9. [matura, maj 2013, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|2 x-5|-|x+4| \leq 2-2 x$.

Zadanie 5.10. [matura, czerwiec 2013, zadanie 1. (5 pkt)]
Rozwiąż nierówność $\sqrt{x^{2}+4 x+4} \geq 11-\sqrt{x^{2}-6 x+9}$.

Zadanie 5.11. [matura, czerwiec 2014, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|x+6|-2|x-2| \leq 2 x-3$.

Zadanie 5.12. [matura, maj 2015, zadanie 6. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|2 x-6|+|x+7| \geq 17$.

Zadanie 5.13. [matura, czerwiec 2015, zadanie 2. (4 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x-2}{x}$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ takich, że $x \neq 0$. Rozwiąż nierówność $\left|\left|f\left(\frac{1}{x+1}\right)\right|-3\right| \leq 4$.

Zadanie 5.14. [matura, czerwiec 2016, zadanie 9. (4 pkt)] Rozwiąż nierówność $\left|x^{2}-3 x+2\right| \geq|x-1|$.

Zadanie 5.15. [matura, czerwiec 2016, zadanie 1. (4 pkt)] Rozwiąż nierówność $|x+5|+|x-6| \leq 9-x$.

Zadanie 5.16. [matura, maj 2017, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|x-1|+|x-5| \leq 10-2 x$.

Zadanie 5.17. [matura, czerwiec 2017, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż równanie $2|x+1|-|x-2|=9$.

Zadanie 5.18. [matura, maj 2018, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż równanie $3|x+2|=|x-3|+11$.

Zadanie 5.19. [matura, czerwiec 2018, zadanie 1. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność $|2 x-1|+x \leq 5+|x+5|$.

Zadanie 5.20. [matura, maj 2019, zadanie 1. (5 pkt)]
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|$, dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq-2$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Zadanie 5.21. [matura, czerwiec 2019, zadanie 6. (5 pkt)]
Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $\sqrt{x^{2}-8 x+16}-3 x<|2 x-4|$.

Zadanie 5.22. [matura, czerwiec 2020, zadanie 6. (3 pkt)]
Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $|x-5|=(a-1)^{2}-4$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Zadanie 5.23. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 1. (6 pkt)]
Dany jest układ równań

$$ \left\{\begin{array}{l} m x+y=m^{2}
4 x+m y=8 \end{array}\right. $$

z niewiadomymi $x$ i $y$ oraz parametrem $m$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których układ jest oznaczony, a para liczb $(x, y)$ będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek $|x+y|<2$.

Zadanie 5.24. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 2.]
Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=\left|-\frac{1}{4} x^{2}+3 x-5\right|$
dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Fragment wykresu funkcji $g$ w kar-- tezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Zadanie 5.24.1. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 2.1. (2 pkt)]
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja $g$ przyjmuje w przedziale $[9,11]$. Zapisz obliczenia.

Zadanie 5.24.2. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 2.1. (2 pkt)] Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru $m$, dla których równanie $g(x)=|m|$ ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Zadanie 5.25. [matura, maj 2023, zadanie 9. (4 pkt)]
Rozwiąż nierówność

$$ \sqrt{x^{2}+4 x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^{2}-6 x+9} $$

Zapisz obliczenia.
Wskazówka: skorzystaj z tego, ze $\sqrt{a^{2}}=|a|$ dla kazdej liczby rzeczywistej $a$.