Rozdział 14. Geometria — dowody i konstrukcje

Zadanie 14.1. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2005, zadanie 17. (4 pkt)] W trójkącie prostokątnym $A B C\left(\varangle B C A=90^{\circ}\right)$ dane są długości przyprostokątnych: $|B C|=a$ i $|C A|=b$. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną $A B$ w punkcie $D$. Wykaż, że długość odcinka $C D$ jest równa $\frac{a \cdot b}{a+b} \cdot \sqrt{2}$. Sporządź pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia.

Zadanie 14.2. [matura, maj 2010, zadanie 9. (4 pkt)] Na bokach $B C$ i $C D$ równoległoboku $A B C D$ zbudowano kwadraty $C D E F$ i $B C G H$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że $|A C|=|F G|$.

Zadanie 14.3. [matura, maj 2011, zadanie 10. (3 pkt)]
Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ niebędący równoległobokiem. Punkty $M, N$ są odpowiednio środkami boków $A B$ i $C D$. Punkty $P, Q$ są odpowiednio środkami przekątnych $A C$ i $B D$. Uzasadnij, że $M Q \| P N$.

Zadanie 14.4. [matura, czerwiec 2011, zadanie 5. (4 pkt)] Dany jest trójkąt ostrokątny $A B C$ o bokach długości $a, b, c$ i kątach $\alpha, \beta, \gamma$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=\frac{\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha}$.

Zadanie 14.5. [matura, czerwiec 2011, zadanie 9. (3 pkt)]
Przekątne trapezu $A B C D$ przecinają się w punkcie $P$. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt $P$, przecina ramiona $A D$ i $B C$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$. Wykaż, że $|M P|=|N P|$.

Zadanie 14.6. [matura, maj 2013, zadanie 2. (4 pkt)]
Trapez równoramienny $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ jest opisany na okręgu o promieniu $r$. Wykaż, że $4 r^{2}=|A B| \cdot|C D|$.

Zadanie 14.7. [matura, maj 2014, zadanie 6. (3 pkt)]
Trójkąt $A B C$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Kąty wewnętrzne $C A B, A B C$ i $B C A$ tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha, 2 \alpha$ i $4 \alpha$. Wykaż, że trójkąt $A B C$ jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych $A S B, A S C$ i $B S C$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Zadanie 14.8. [matura, czerwiec 2014, zadanie 5. (3 pkt)]
Na przyprostokątnych $A C$ i $B C$ trójkąta prostokątnego $A B C$ zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty $A C D E$ i $B F G C$. Odcinek $A F$ przecina przyprostokątną $B C$ w punkcie $L$, a odcinek $B E$ przecina przyprostokątną $A C$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że $|K C|=|L C|$.

Zadanie 14.9. [próbna matura, grudzień 2014, zadanie 14. (4 pkt)]
Wykaż, że jeżeli $\alpha, \beta, \gamma$ są kątami wewnętrznymi trójkąta i $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta<\sin ^{2} \gamma$, to $\cos \gamma<0$.

Zadanie 14.10. [próbna matura, grudzień 2014, zadanie 15. (3 pkt)]
Punkt $E$ jest środkiem boku $B C$ prostokąta $A B C D$, w którym $|A B|>|B C|$. Punkt $F$ leży na boku $C D$ tego prostokąta oraz $|\Varangle A E F|=90^{\circ}$. Udowodnij, że $|\Varangle B A E|=|\Varangle E A F|$.

Zadanie 14.11. [matura, maj 2015, zadanie 9. (3 pkt)]
Dwusieczne czworokąta $A B C D$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P, Q$, $R, S$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że na czworokącie $P Q R S$ można opisać okrąg.

Zadanie 14.12. [matura, maj 2015, zadanie 7. (4 pkt)]
O trapezie $A B C D$ wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków $A B, B C, C D, A D-$ w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez $A B C D$ jest rombem.

Zadanie 14.13. [matura, czerwiec 2015, zadanie 9. (3 pkt)]
W trójkącie $A B C$ kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ ma miarę $50^{\circ}$, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma miarę $60^{\circ}$. Okrąg $o_{1}$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina boki $A B$ i $A C$ trójkąta odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Okrąg $o_{2}$ przechodzi przez punkt $B$, przecina okrąg $o_{1}$ w punkcie $D$ oraz w punkcie $F$ leżącym wewnątrz trójkąta $A B C$. Ponadto okrąg $o_{2}$ przecina bok $B C$ trójkąta w punkcie $G$.

Udowodnij, że na czworokącie $C E F G$ można opisać okrąg.

Zadanie 14.14. [matura, czerwiec 2015, zadanie 12. (4 pkt)]
Dany jest trójkąt $A B C$, w którym $|B C|=a$. Z wierzchołka $B$ poprowadzono środkową $B D$ do boku $A C$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $B D$. Przez punkty $A$ i $S$ poprowadzono prostą, która przecięła bok $B C$ w punkcie $P$. Wykaż, że długość odcinka $C P$ jest równa $\frac{2}{3} a$.

Zadanie 14.15. [matura, czerwiec 2015, zadanie 4. (3 pkt)]
W trapez $A B C D$ wpisano okrąg o środku $S$. Okrąg ten jest styczny do ramion $A D$ i $B C$ tego trapezu w punktach odpowiednio $P$ i $Q$ (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że trójkąt $A S D$ jest prostokątny. Wykaż, że $|A P| \cdot|D P|=|B Q| \cdot|C Q|$.

Zadanie 14.16. [matura, maj 2016, zadanie 9. (3 pkt)]
Dany jest prostokąt $A B C D$. Okrąg wpisany w trójkąt $B C D$ jest styczny do przekątnej $B D$ w punkcie $N$. Okrąg wpisany w trójkąt $A B D$ jest styczny do boku $A D$ w punkcie $M$, a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $M N$, jak na rysunku.

Wykaż, że $|M N|=|A D|$.

Zadanie 14.17. [matura, czerwiec 2016, zadanie 11. (3 pkt)] Dany jest sześcian $A B C D E F G H$. Przez wierzchołki $A$ i $C$ oraz środek $K$ krawędzi $B F$ poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną $B H$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|B P|:|H P|=1: 3$.

Zadanie 14.18. [matura, czerwiec 2016, zadanie 9. (4 pkt)] Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$, w którym: $|A B|=|B C|,|\varangle D A B|=45^{\circ},|\varangle A B C|=150^{\circ}$, $|\varangle B C D|=60^{\circ}$. Wykaż, że trójkąt $B C D$ jest równoboczny.

Zadanie 14.19. [matura, maj 2017, zadanie 8. (3 pkt)]
W trójkącie ostrokątnym $A B C$ bok $A B$ ma długość $c$, długość boku $B C$ jest równa a oraz $|\varangle A B C|=\beta$. Dwusieczna kąta $A B C$ przecina bok $A C$ trójkąta w punkcie $E$. Wykaż, że długość odcinka $B E$ jest równa $\frac{2 a c \cdot \cos \frac{\beta}{2}}{a+c}$.

Zadanie 14.20. [matura, czerwiec 2017, zadanie 8. (3 pkt)] Miary kątów trójkąta $A B C$ są równe $\alpha=|\varangle B A C|, \beta=|\varangle A B C|$ i $\gamma=|\varangle A C B|$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $A S$ i $B S$ przecinają boki $B C$ i $A C$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli $\alpha+\beta=2 \gamma$, to na czworokącie $D C E S$ można

opisać okrąg.

Zadanie 14.21. matura, maj 2018, zadanie 7. (3 pkt)] Trójkąt $A B C$ jest ostrokątny oraz $|A C|>|B C|$. Dwusieczna $d_{C}$ kąta $A C B$ przecina bok $A B$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{A}$ kąta $B A C$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{C}$ kąta $A C B$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{B}$ kąta $A B C$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Zadanie 14.22. [matura, czerwiec 2018, zadanie 6. (3 pkt)]
W trójkącie $A B C$ kąt $B A C$ jest dwa razy większy od kąta $A B C$. Wykaż, że prawdziwa jest równość $|B C|^{2}-|A C|^{2}=|A B| \cdot|A C|$.

Zadanie 14.23. [matura, maj 2019, zadanie 9. (3 pkt)]
Dany jest trójkąt równơamienny $A B C$, w którym $|A C|=|B C|$. Na ramieniu $A C$ tego trójkąta wybrano punkt $M(M \neq A$ i $M \neq C)$, a na ramieniu $B C$ wybrano punkt $N$, w taki sposób, że $|A M|=|C N|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $A B$ tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$. Udowodnij, że $|S T|=\frac{1}{2}|A B|$.

Zadanie 14.24. [matura, czerwiec 2019, zadanie 8. (3 pkt)]
Dwusieczne kątów $B A D$ i $B C D$ czworokąta wypukłego $A B C D$ przecinają się w punkcie $E$, przy czym punkty $B$ i $E$ leżą po przeciwnych stronach prostej $A C$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|\varangle A B C|-|\varangle A D C|+2 \cdot|\varangle A E C|=360^{\circ}$.

Zadanie 14.25. [matura, czerwiec 2020, zadanie 7. (3 pkt)] Dany jest trójkąt równoramienny $A B C$, w którym $|A C|=|B C|=6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $A B$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $A C$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $A C$, punkt $L$ leży na boku $B C$, odcinek $K L$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|K C|=|L C|=2$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\frac{|A M|}{|M C|}=\frac{4}{5}$.

Zadanie 14.26. [matura, lipiec 2020, zadanie 7. (3 pkt)]
Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty $A, B, C$ i $D$. Wykaż, że jeżeli $|\varangle A D B|=|\varangle A C B|$, to $|\varangle B A C|=|\varangle B D C|$.

Zadanie 14.27. [test diagnostyczny CKE, marzec 2021, zadanie 8. (4 pkt)] Na przeciwprostokątnej $A B$ trójkąta prostokątnego $A B C$ zbudowano kwadrat $A B D E$ (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy $k$.

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa $\frac{1}{2 k}$.

Zadanie 14.28. [matura, maj 2021, zadanie 8. (3 pkt)] Dany jest trójkąt równoboczny $A B C$. Na bokach $A B$ i $A C$ wybrano punkty - odpowiednio - $D$ i $E$ takie, że $|B D|=|A E|=\frac{1}{3}|A B|$. Odcinki $C D$ i $B E$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta $D B P$ jest 21 razy mniejsze

od pola trójkąta $A B C$.

Zadanie 14.29. [matura, czerwiec 2021, zadanie 7. (3 pkt)] Dany jest trójkąt $A B C$. Na boku $A B$ tego trójkąta obrano punkty $D, E$ i $F$ tak, że $|A D|=|D E|=|E F|=2|F B|$. Na bokach $A C$ i $B C$ obrano - odpowiednio - punkty $G$ i $H$ tak, że $D G \| E C$ oraz $F H \| E C$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $F B H$ jest równe $S$, to pole trójkąta $A D G$ jest równe $3 S$.

Zadanie 14.30. [arkusz pokazowy CKE, marzec 2022, zadanie 8. (4 pkt)]
Dany jest trapez równoramienny $A B C D$ o obwodzie $l$ i podstawach $A B$ oraz $C D$ takich, że $|A B|>|C D|$. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna $A C$ trapezu ma długość $d$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że promień $R$ okręgu opisanego na trapezie $A B C D$ jest równy $\frac{d \cdot l}{2 \sqrt{16 d^{2}-l^{2}}}$.

Zadanie 14.31. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 26. (5 pkt)]
Dany jest trapez prostokątny $A B C D$ o kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$. Ramię $B C$ trapezu ma długość 5 . W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu 2. Punkt $P$ jest punktem styczności okręgu i dluższej podstawy $A B$ tego trapezu (zobacz rysunek).

Wykaż, że trójkąty $B P S$ i $B S C$ są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego podobieństwa.

Zadanie 14.32. [matura, maj 2022, zadanie 8. (3 pkt)]
Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $A B C D$. Długość podstawy $C D$ jest o 2 mniejsza od długości podstawy $A B$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $C P D$ jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $A P B$. Wykaż, że spełniony jest warunek

$$ |D P|^{2}+|C P|^{2}-|C D|^{2}=\frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot|D P| \cdot|C P| $$

Zadanie 14.33. [matura, czerwiec 2022, zadanie 9. (3 pkt)]
W trapezie $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ przez punkt $O$ przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków $B C$ i $A D$. Prosta równoległa do boku $B C$ przecina bok $A B$ w punkcie $B^{\prime}$, a prosta równoległa do boku $A D$ przecina bok $A B$ w punkcie $A^{\prime}$. Wykaż, że $\left|A A^{\prime}\right|=\left|B B^{\prime}\right|$.

Zadanie 14.34. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 6. (4 pkt)]
W trójkącie $A B C$ poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki $B C, A C$ i $A B$ tego trójkąta w punktach - odpowiednio - $K, L$ oraz $M$. Punkt $P$ jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLPK oraz BKPM można opisać okrąg.
Udowodnij, że trójkąt $A B C$ jest równoboczny.

Zadanie 14.35. [matura, maj 2023, zadanie 5. (3 pkt)]
Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$, w którym $|\Varangle A B C|=90^{\circ}$ oraz $|\Varangle C A B|=60^{\circ}$.
Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach - odpowiednio $-A B$ i $B C$ tak, że $|B K|=|B L|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $K L$ przecina wysokość $B D$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|A D|=2$.
Wykaż, że $|N D|=\sqrt{3}+1$.

Zadanie 14.36. [matura, czerwiec 2023, zadanie 6. (3 pkt)]
Dany jest okrąg $O$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okregu w punktach - odpowiednio - $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $A P$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $A Q$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli $|A Q|=5 \cdot|B P|$ oraz $|C D|=2 \cdot|B D|$, to trójkąt $A B C$ jest równo-

ramienny.