Rozdział 12. Rachunek prawdopodobieństwa

Zadanie 12.1. [matura CKE dla chętnych, styczeń 2003, zadanie 16. (4 pkt)]
Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka" wypadnie co najmniej cztery razy.

Zadanie 12.2. [matura CKE dla chętnych, maj 2003, zadanie 16. (5 pkt)]
Zawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze „Expres-Lotek" zakreślamy 5 spośród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród 5 wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,00001 .

Zadanie 12.3. [próbna matura CKE, styczeń 2004, zadanie 19. (5 pkt)]
W pierwszej loterii jest $n(n>2)$ losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii $2 n$ losów, w tym dwa wygrywające. W której z loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą szansę wygranej? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 12.4. [matura, maj 2005, zadanie 13. (4 pkt)]
Rzucamy $n$ razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich $n$ prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od $\frac{671}{1296}$.

Zadanie 12.5. [matura, maj 2006, zadanie 15. (4 pkt)]
Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w $5 \%$ jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w $20 \%$ jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w $50 \%$ jego kursów. W ciągu 5 -dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A , dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C . Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki.

Zadanie 12.6. [matura próbna CKE, marzec 2008, zadanie 9. (4 pkt)]
Grupa 4 kobiet i 4 mężczyzn, w tym jedno małżeństwo, wybrała się na pieszą wycieczkę. Na wąskiej ścieżce musieli iść gęsiego tzn. jedno za drugim. Zakładamy, że wszystkie możliwe ustawienia tych osób są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed mężem. Sprawdź, czy to prawdopodobieństwo jest mniejsze od 0,001 .

Zadanie 12.7. [matura, maj 2008, zadanie 10. (4 pkt)]
Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe 0,1 . Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.

Zadanie 12.8. [matura, maj 2009, zadanie 10. (4 pkt)]
W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od $\frac{9}{22}$.

Zadanie 12.9. [matura, maj 2010, zadanie 10. (4 pkt)]
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Zadanie 12.10. [matura, sierpień 2010, zadanie 9. (4 pkt)]
Liczby $1,2,3,4,5,6,7,8$ ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiedniçh liczb będzie nieparzystą. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 12.11. [matura, czerwiec 2011, zadanie 11. (4 pkt)]
Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1,2,3\}$ losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa 7.

Zadanie 12.12. [matura, maj 2013, zadanie 11. (4 pkt)]
Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60 .

Zadanie 12.13. [matura, maj 2014, zadanie 11. (4 pkt)]
Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych kul.

Zadanie 12.14. [matura, czerwiec 2014, zadanie 11. (4 pkt)]
W urnie jest dziesięć kul: 4 białe, 3 czarne, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród wylosowanych kul nie ma kul w tym samym kolorze. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 12.15. [przykładowy arkusz CKE, grudzień 2014, zadanie 16. (5 pkt)]
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę", pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę".

Zadanie 12.16. [matura, maj 2015, zadanie 11. (4 pkt)]
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Zadanie 12.17. [matura, maj 2015, zadanie 11. (3 pkt)]
Rozważmy rzut sześcioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że uzyskany wynik rzutu spełnia równocześnie trzy warunki:

\begin{itemize} \item dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po jednym oczku; \item dokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek; \item suma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest parzysta. \end{itemize}

Zadanie 12.18. [matura, czerwiec 2015, zadanie 11. (4 pkt)]
Każda z urn oznaczonych liczbami 1, 2, 3 zawiera po 3 kule czarne i 4 białe, a każda urna oznaczona liczbami 4, 5, 6 zawiera po 3 czarne i 2 białe kule. Rzucamy sześcienną kostką do gry, a następnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez zwracania 2 kule. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul czarnych, czy dwóch kul białych?

Zadanie 12.19. [matura, czerwiec 2016, zadanie 7. (4 pkt)]
Rzucamy czterokrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dokładnie dwie dwójki lub dokładnie dwie piątki. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 12.20. [matura, maj 2017, zadanie 11. (4 pkt)]
W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Zadanie 12.21. [matura, maj 2017, zadanie 8 . (3 pkt)]
W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: 2 kule białe i 3 kule czerwone, a w drugim pudełku: 1 kulę białą i 4 kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.

Zadanie 12.22. [matura, czerwiec 2017, zadanie 11. (3 pkt)]
Prawdopodobieństwo tego, że z pewnej grupy osób wylosujemy osobę znającą język angielski, jest równe 0,4 , prawdopodobieństwo wylosowania osoby znającej język francuski jest równe 0,2 , natomiast prawdopodobieństwo wylosowania osoby znającej oba te jezyki jest równe 0,1 . Wykaż, że prawdopodobieństwo wylosowania osoby, która zna język angielski i nie zna języka francuskiego, jest trzy razy większe od prawdopodobieństwa wylosowania osoby, która zna język francuski i nie zna języka angielskiego.

Zadanie 12.23. [matura, maj 2018, zadanie 9. (4 pkt)]
Z liczb ośmioelementowego zbioru $Z=\{1,2,3,4,5,6,7,9\}$ tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 12.24. [matura, czerwiec 2018, zadanie 9. (4 pkt)]
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru $\{0,1,3,5,7,9\}$, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.

Zadanie 12.25. [matura, maj 2019, zadanie 10. (3 pkt)]
Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 12.26. [matura, czerwiec 2019, zadanie 10. (4 pkt)]
W urnie jest dziesięć kul różniących się wyłącznie kolorem: 4 czarne, 3 białe, 2 zielone i 1 niebieska. Losujemy jednocześnie trzy kule z urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że przynajmniej dwie z wylosowanych kul mają ten sam kolor.

Zadanie 12.27. [matura, maj 2021, zadanie 9. (4 pkt)]
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

Zadanie 12.28. [matura, czerwiec 2021, zadanie 11. (4 pkt)]
W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe $\frac{1}{15}$. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Zadanie 12.29. [arkusz pokązowy CKE, marzec 2022, zadanie 11. (4 pkt)]
Egzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej 11 zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź.
Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin. Zapisz obliczenia.

Zadanie 12.30. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 28. (4 pkt)]
Niech $n$ będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru

$$ \boldsymbol{M}=\{1,2,3, \ldots, 3 n+1\} $$

losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie $A$ odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru $M$ trzech liczb, takich że suma tych liczb przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzẹnia $A$.

Zadanie 12.31. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 29. (4 pkt)]
Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że $60 \%$ rozegranych partii wygrywa jego syn.
Oblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 0,95 .

Zadanie 12.32. [informator maturalny CKE 2021, zadanie 30. (3 pkt)]
Pewna choroba dotyka $0,2 \%$ całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę) jest równe 0,99 . Ponadto wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe 0,98 . Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie choroby.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Pan X jest rzeczywiście chory.

Zadanie 12.33. [test diagnostyczny CKE, grudzień 2022, zadanie 4. (3 pkt)]
Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe 0,1 . Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo 20 torebek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych 20 losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.
Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Zadanie 12.34. [matura, maj 2023, zadanie 2. (3 pkt)]
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$.
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Zadanie 12.35. [matura, maj 2023, zadanie 8. (3 pkt)]
W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Nastepnie - z kul pozostałych w pojemniku - losujemy jeszcze jedną kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim losowaniu.

Zadanie 12.36. [matura, czerwiec 2023, zadanie 3. (3 pkt)]
Prawdopodobieństwo wystapienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,1 .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastapi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokragleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Zadanie 12.37. [matura, czerwiec 2023, zadanie 11. (4 pkt)]
W pudełku umieszczono $n$ kul $(n \geq 3)$ wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę biała. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe $\frac{37}{50}$.
Oblicz n.